Как записать деление с остатком формулой, почему остаток всегда меньше делителя и как остатки повторяются по кругу.
Главная идея: Разделить $a$ на $b$ с остатком — значит найти, сколько полных частей помещается и что осталось: $a = b \cdot q + r$. Остаток обязательно меньше делителя: если бы он был равен $b$ или больше, из него собралась бы ещё одна полная часть.
В школе на тему отводится
2 урока: здесь собрано главное, что на них разбирают,
а решать можно сколько угодно — задачник ниже выдаёт новые задачи
без конца.
Раздел 1
Запись
17 конфет раздали по 5 — каждому досталось по 3, и две
остались. Записывают это так:
Разных остатков при делении на $b$ ровно $b$ штук: от 0 до $b-1$.
Запись «$17 : 5 = 3$ (остаток 2)» удобна, но проверять
надо формулой: $5 \cdot 3 + 2 = 17$. Именно она ловит ошибку в частном.
Раздел 2
Остатки идут по кругу
Будем делить на 5 числа подряд: у 10 остаток 0, у 11 — 1,
у 12 — 2, у 13 — 3, у 14 — 4, а у 15 снова 0. Остатки ходят по кругу
и никогда не достигают пятёрки.
Поэтому «остаток 5 при делении на 5» — бессмыслица:
это ещё одна полная пятёрка, и частное должно вырасти на единицу.
Круг остатков объясняет житейские вопросы вроде
«какой день недели будет через 100 дней»: дни повторяются с периодом 7,
и всё решает остаток от деления на 7.