Что такое функция, чем аргумент отличается от значения, как задают функцию,
что такое область определения и область значений и как отличить функцию
от произвольного соответствия.
Пройти тему целиком
Понятие функции
Не понял тему в школе или хочешь повторить? Пройди её по шагам:
теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задания — по официальным прототипам ОГЭ,
ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется — видно, что уже усвоено.
Функция — это правило, по которому каждому значению независимой переменной $x$
(аргумента) ставится в соответствие ровно одно значение зависимой переменной $y$.
Записывают $y = f(x)$.
Проще всего представить функцию как цепочку: задаём $x$, срабатывает правило,
получается $y$. Меняйте $x$ и смотрите, что происходит внутри.
Правило: y = 2x + 1
вход · аргумент x
3
задаём сами
→
правило
× 2
+ 1
→
выход · значение y
7
получаем в ответ
f(3) = 7
$x$ — аргумент. Его задаём. $y$ — значение функции. Его получаем.
Одному значению $x$ функция ставит в соответствие ровно одно значение $y$.
Раздел 2
Аргумент и значение функции
Как читать запись
$f(x)$ читается «эф от икс» и означает значение функции для аргумента $x$.
Например, $f(3) = 7$ значит: при $x = 3$ функция принимает значение $7$.
$f(3)$ — это не $f \cdot 3$. В скобках записано значение аргумента,
которое подставили вместо $x$.
Чтобы найти значение функции, подставьте число вместо $x$ и посчитайте.
Возьмём другое правило:
f(x) = 3x − 2
Чему равно $f(3)$?
Раздел 3
Функция или нет
Слева значения $x$, справа значения $y$, стрелки показывают правило.
Сравните три случая.
✓ Это функция
1→3
2→5
3→7
У каждого $x$ один результат.
✗ Это не функция
1→2
1→5
2→6
Одному $x = 1$ соответствуют два разных $y$.
✓ Тоже функция
1→4
2→4
3→4
Значения $y$ одинаковые — так можно.
Третий случай: все $y$ равны 4. Это функция?
Мини-проверка
Раздел 4
Одна функция — разные способы показать её
Формулу, таблицу, точки и график часто перечисляют как «способы задания функции».
Важно понимать: это не четыре разные функции, а одно правило в четырёх видах.
Всё, что ниже, — про $y = 2x + 1$.
y = 2x + 1
Правило записано формулой — самая короткая запись.
x
−2
−1
0
1
2
y
−3
−1
1
3
5
То же правило в виде таблицы. Каждый столбец — пара
«что подставили» и «что получилось».
(−2; −3) (−1; −1) (0; 1) (1; 3) (2; 5)
Та же таблица, записанная парами: первое число — аргумент,
второе — значение функции.
Нажмите на столбец таблицы — на графике загорится соответствующая точка.
Нажмите на точку — подсветится столбец. Точка графика — это пара значений $x$ и $y$.
Раздел 5
Область определения и область значений
Определения
Область определения $D(f)$ — значения $x$, которые разрешено подставлять.
Область значений $E(f)$ — значения $y$, которые функция может получить.
Чаще всего ограничения появляются там, где нельзя делить на ноль.
Посмотрите на $y = \dfrac{1}{x - 2}$: двойку подставить не получится.
y = 1 / (x − 2)
$x = 2$ брать нельзя: получится деление на ноль.
Поэтому $D(f)$ — все числа, кроме $2$.
Что подставляем и что получаем
На простой таблице разница между $D(f)$ и $E(f)$ видна сразу.
Нажмите на кнопки и посмотрите, какая строка загорится.
x
1
2
3
y
4
5
6
Раздел 6
Как понять по рисунку, функция это или нет
Проведите вертикальную прямую и посчитайте пересечения.
График функции она пересекает не более одного раза. Подвигайте ползунок —
прямая поедет сразу на обоих чертежах.
Если для одного $x$ получается сразу два $y$ — это не функция.
Именно это и проверяет вертикальная прямая.
Раздел 7
Покупаем билеты
Один билет стоит 200 ₽. Тогда стоимость покупки задаётся формулой
$C = 200n$, где $n$ — количество билетов, $C$ — стоимость.
аргумент n
3
билетов берём
→
правило
× 200
→
значение C, ₽
600
столько заплатим
Мы задаём количество билетов — стоимость определяется автоматически.
Это тоже функция.
Раздел 8
Частые ошибки
Путают аргумент $x$ и значение $y$.
x — задаём
↓
функция
↓
y — получаем
Считают $f(3)$ произведением $f$ на $3$.
Как правильно
$f(x) = 2x + 1$
$f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$
В скобках записано значение аргумента.
Думают, что одинаковые значения $y$ запрещены.
✓ Функция
1→5
2→5
3→5
У каждого $x$ один результат — этого достаточно.
✗ Не функция
2→3
2→7
Одному $x = 2$ соответствуют два разных $y$.
Забывают исключить запрещённый $x$: у $y = \dfrac{1}{x-2}$
при $x = 2$ получается деление на ноль.
На ОГЭ часто просят сопоставить формулу и график.
Если понимать, что функция связывает каждый $x$ с определённым $y$, такие задания
перестают быть угадайкой: достаточно подставить пару значений и проверить,
какой график им подходит.
Связь с ОГЭ
Эта тема — основа для задания №11 ОГЭ
Функции и графики — это задание на соответствие в ОГЭ. Научишься читать график и формулу — получишь быстрый балл почти без вычислений.
Сначала разберите домашнюю работу с готовыми решениями, затем пройдите тест
с автоматической проверкой — так тема «Понятие функции» закрепится надёжно.