Что такое линейная функция $y = kx + b$, почему её график — прямая, что означают коэффициенты $k$ и $b$, когда функция возрастает или убывает и как найти её нуль. С примерами и частыми ошибками.
Не понял тему в школе или хочешь повторить? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задания — по официальным прототипам ОГЭ, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется — видно, что уже усвоено.
Начать прохождение темы →Линейная функция — это функция вида $y = kx + b$, где $k$ и $b$ — числа. Число $k$ называют угловым коэффициентом, $b$ — свободным членом.
Чтобы найти значение функции, подставьте число вместо $x$ и вычислите $y$. Например, для $y = 2x + 1$ при $x = 3$ получаем $y = 2\cdot 3 + 1 = 7$.
Графиком линейной функции всегда является прямая. Два числа $k$ и $b$ полностью задают эту прямую: других вариантов нет. Подвигайте ползунки — и посмотрите, как каждое из них двигает прямую.
Коэффициент $k$ отвечает за наклон прямой:
Здесь $b = 1$ и не меняется — двигается только наклон. Серая прямая $y = x$ оставлена для сравнения.
Коэффициент $b$ — это значение $y$ при $x = 0$, то есть точка пересечения с осью $Oy$: $(0;\,b)$. Наклон при этом не меняется — прямая просто едет вверх-вниз.
$y = 3x - 5$. С осью $Oy$ график пересекается в точке $(0;\,-5)$, так как $b = -5$.
Через две точки проходит ровно одна прямая — значит, для построения графика достаточно найти две точки. Берём любые два значения $x$ (удобнее всего $x = 0$), считаем $y$, отмечаем точки и проводим через них прямую.
Таблица значений и график — это две записи одной и той же функции. Каждая строка таблицы — это точка на плоскости. Заполните таблицу для $y = 2x - 2$: каждое верное значение сразу поставит точку на график.
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y |
Нуль функции — это значение $x$, при котором $y = 0$. На графике это точка пересечения с осью $Ox$. Чтобы его найти, решаем уравнение $kx + b = 0$.
$y = 2x - 6$. Решаем: $2x - 6 = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$. Нуль функции: $x = 3$, график пересекает $Ox$ в точке $(3;\,0)$.
В ОГЭ чаще спрашивают обратное: график дан, формулу надо восстановить или снять с картинки нужное число. Порядок такой: смотрим, где прямая пересекает $Oy$ — это $b$; смотрим, вверх или вниз она идёт — это знак $k$; считаем по клеткам, на сколько поднимается $y$ при сдвиге на 1 вправо — это $k$.
Обратная задача: даны две точки, надо подобрать $k$ и $b$ так, чтобы прямая прошла ровно через них. Подсказка: сначала ползунком $b$ поймайте высоту, потом $k$ — наклон.
Три ситуации, которые встречаются в заданиях чаще всего и обычно сбивают с толку.
Синяя — $y = 3x + 1$, красная — $y = x + 3$. Числа те же, прямые разные: у синей крутой наклон, у красной высокая точка пересечения с $Oy$.
Через одну точку $(1;\,2)$ проходит бесконечно много прямых — график не определён, пока нет второй точки.
Функции и графики — это задание на соответствие в ОГЭ. Научишься читать график и формулу — получишь быстрый балл почти без вычислений.