Математика
Про экзамен: структура, баллы, варианты Узнать свой балл Варианты ОГЭ Каталог заданий Разбор заданий Математика 5–9
Физика
Физика, 7 класс Виртуальные лаборатории Как решать задачи
Подписка
Купить подписку Активировать код
Вход
Войти как ученик Войти как учитель Узнать свой балл
Разбор · Задание №14 ОГЭ · Прогрессии

Разбор задания №14 ОГЭ — прогрессии

Формулы лежат в справочнике, помнить их наизусть не нужно. Ломается другое: какая это прогрессия и почему в формуле стоит $n-1$, а не $n$. Разберём именно это.

Главная идея: прогрессия — это лестница. В арифметической все ступеньки одной высоты: каждый раз прибавляем $d$. В геометрической каждая ступенька во столько-то раз выше предыдущей: каждый раз умножаем на $q$. Всё остальное — следствие этой картинки, включая загадочное $n-1$.

Алгоритм

4 шага для любой задачи о прогрессии

  1. Определите тип. Вычтите соседние члены: разность везде одна — арифметическая. Разделите соседние: отношение везде одно — геометрическая.
  2. Выпишите две вещи: первый член и шаг ($a_1$ и $d$, либо $b_1$ и $q$). Больше почти никогда не нужно.
  3. Посмотрите, что спрашивают: один член — формула $n$-го члена; сумму нескольких — формула суммы.
  4. Проверьте пешком. Пройдите цепочку для маленьких номеров и сверьте с ответом.
Разбираемся отдельно · 1

Почему $n-1$, а не $n$

Это ошибка номер один во всём задании. Посмотрите на лестницу от $a_1$ до $a_5$:

a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ +d +d +d +d членов 5, а шагов между ними — 4
Как запомнить: посмотрите на свою руку. Пальцев пять, а промежутков между ними четыре. Так же и здесь: чтобы дойти от первого члена до $n$-го, шагов делаем на один меньше — $(n-1)$. Поэтому $a_n=a_1+(n-1)d$ и $b_n=b_1\cdot q^{\,n-1}$.
Попробуйте сами · 1

Что это за прогрессия

Первый шаг решения — и самый частый провал. Определите тип и шаг.

Разбираемся отдельно · 2

Какую формулу суммы брать

Формул суммы две, и обе про одно и то же. Выбирают по тому, что известно.

$S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$
Когда известен последний член. Это просто «среднее крайних умножить на количество» — сумма ровно такая, как если бы все члены были одинаковыми и равными среднему.
$S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$
Когда последний член неизвестен. Та же формула, только $a_n$ уже расписан через $a_1$ и $d$. Считать ничего лишнего не надо.
Смысл в одной фразе: сумма арифметической прогрессии — это среднее арифметическое крайних членов, умноженное на количество. Если помнить это, формулу можно не вспоминать, а собрать заново.
Пример 1

Арифметическая: найти член по номеру

В арифметической прогрессии $a_1=5$, разность $d=3$. Найдите $a_{10}$.

  1. Формула $n$-го члена: $a_n=a_1+(n-1)d$. Здесь $n=10$.
  2. Шагов от первого до десятого: $10-1=9$.
  3. $a_{10}=5+9\cdot 3=5+27=32$.
  4. Проверка пешком: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32 — десятое число действительно 32.
Ответ: 32.
Пример 2

Арифметическая: сумма членов

Найдите сумму первых 10 членов той же прогрессии ($a_1=5$, $d=3$).

  1. Последний член уже найден в примере 1: $a_{10}=32$.
  2. Берём формулу через крайние: $S_{10}=\dfrac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10=\dfrac{5+32}{2}\cdot 10$.
  3. $S_{10}=18{,}5\cdot 10=185$.
  4. Проверка прикидкой: все десять членов лежат между 5 и 32, значит сумма должна быть между $10\cdot 5=50$ и $10\cdot 32=320$. Число 185 — ровно посередине, как и должно быть.
Ответ: 185.
Пример 3

Геометрическая: найти член по номеру

В геометрической прогрессии $b_1=3$, знаменатель $q=2$. Найдите $b_5$.

  1. Формула: $b_n=b_1\cdot q^{\,n-1}$. Здесь $n=5$, значит показатель $5-1=4$.
  2. $b_5=3\cdot 2^{4}=3\cdot 16=48$.
  3. Проверка пешком: 3, 6, 12, 24, 48 — пятое число 48. Сходится.
  4. Если бы взяли показатель 5, получилось бы $3\cdot 32=96$ — это уже шестой член. Проверка пешком ловит эту ошибку сразу.
Ответ: 48.
Попробуйте сами · 2

$n$ или $n-1$

Тот самый шаг, на котором теряют баллы чаще всего. Выберите верную подстановку.

Проверь себя

Как убедиться, что ответ верный

  1. Пройдите пешком. Для номеров до шестого-седьмого быстрее просто выписать цепочку, чем сомневаться. Совпало с формулой — можно идти дальше.
  2. Прикиньте направление. При $d>0$ и $q>1$ члены растут, при $d<0$ и $0<q<1$ — убывают. Получили убывание там, где должен быть рост, — ошибка в знаке.
  3. Сумму зажмите между двумя числами. Она всегда между $n\cdot a_1$ и $n\cdot a_n$. Вышли за эти границы — ошибка в формуле суммы.
Что видно по ответуГде искать ошибку
Получился следующий член, а не нужныйВзяли показатель $n$ вместо $n-1$
Число выросло, а должно было убыватьПотерян минус у $d$ или взято $q>1$ вместо дроби
Сумма меньше, чем $n\cdot a_1$Забыли умножить на количество членов $n$
При делении соседних членов получаются разные числаПрогрессия не геометрическая — проверьте разность
Попробуйте сами

Поймай ошибку

Чужое решение, в нём сломан ровно один шаг. Найти его в чужой работе легче, чем в своей, — а ошибка тут та же, что делают сами.

На что обратить внимание

Частые ошибки

Берут показатель $n$ вместо $n-1$: у пятого члена геометрической прогрессии степень равна 4, а не 5.
Путают прогрессии: в арифметической прибавляют $d$, в геометрической умножают на $q$.
Находят $d$ наоборот: разность — это «следующий минус предыдущий», а не наоборот. Для убывающей прогрессии $d$ отрицательна.
В формуле суммы забывают умножить на число членов $n$ — получается среднее вместо суммы.
Считают, что последовательность обязана быть прогрессией. Числа 1, 4, 9, 16 — квадраты, и ни одной из двух прогрессий не являются.
Потренируйтесь

Закрепите на тренажёре

В каталоге задание №14 собрано по подтипам: арифметическая и геометрическая прогрессии. Числа каждый раз новые, ответы проверяются автоматически.

Тренировать: задание №14 ↑ Наверх

К другим разборам

Метод понятен — двигайтесь дальше по разделу разборов ОГЭ.

Все разборы Каталог заданий