Задание №15 — про треугольник и его элементы: углы, стороны, площадь. Решается несколькими
базовыми фактами, которые нужно держать в голове.
Коротко: сумма углов треугольника $180^\circ$; в равнобедренном
углы при основании равны; площадь — половина произведения стороны на высоту к ней.
Главная идея: Почти всё задание держится на двух фактах. Первый: сумма углов треугольника
равна $180^\circ$ — отсюда все задачи про углы. Второй: площадь равна половине
произведения стороны на высоту к этой самой стороне — отсюда все задачи
про площадь. Остальное — частные случаи.
Алгоритм
4 шага для этого задания
Посмотрите, что дано: углы или длины. Это сразу делит задачу надвое.
Углы: вычитайте из $180^\circ$. В равнобедренном два угла равны, поэтому
остаток после вершинного делят пополам.
Площадь: найдите пару «сторона и высота к ней», перемножьте
и разделите пополам.
Проверьте правдоподобие: сумма трёх углов ровно $180^\circ$,
каждый угол больше нуля.
Памятка
Что нужно помнить
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.
Равнобедренный: углы при основании равны. Если угол при вершине $\alpha$, то угол при основании $\dfrac{180^\circ-\alpha}{2}$.
Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
Площадь: $S=\dfrac{1}{2}a\cdot h$ (сторона на высоту к ней). Для прямоугольного — $S=\dfrac12\cdot$ (катет $\cdot$ катет).
Тригонометрия в прямоугольном: $\sin=\dfrac{\text{противолежащий}}{\text{гипотенуза}}$,
$\cos=\dfrac{\text{прилежащий}}{\text{гипотенуза}}$, $\tg=\dfrac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}$.
Пример 1
Углы равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен $40^\circ$. Найдите угол при основании.
Сумма углов $180^\circ$, два угла при основании равны.
На них приходится $180^\circ-40^\circ=140^\circ$.
Каждый угол при основании: $140^\circ:2=70^\circ$.
Ответ: 70°.
Пример 2
Площадь треугольника
Основание треугольника равно 8, а высота, проведённая к этому основанию, равна 5.
Найдите площадь треугольника.
Формула площади: $S=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot h$, где $a$ — основание, $h$ — высота к нему.
Два угла треугольника равны $40^\circ$ и $70^\circ$. Найдите третий угол.
Сумма всех углов треугольника $180^\circ$.
Третий угол: $180^\circ-(40^\circ+70^\circ)=180^\circ-110^\circ$.
$=70^\circ$.
Ответ: 70°.
Разбираемся отдельно
Высота работает только со своей стороной
Самая дорогая ошибка задания: берут любую известную длину и умножают.
Но в формуле площади сторона и высота — не два произвольных числа, а пара.
Правило: высота — это перпендикуляр, опущенный на ту сторону,
которую вы взяли за основание. Боковая сторона высотой не является: она идёт наклонно,
и произведение на неё даёт число больше настоящей площади. Исключение одно —
прямоугольный треугольник, где катеты перпендикулярны друг другу и потому годятся оба.
Попробуйте сами
Разберитесь по шагам
Вопросы собраны вокруг того, на чём в этом задании теряют баллы.
Проверь себя
Как убедиться, что ответ верный
Сложите все три угла. Должно получиться ровно $180^\circ$ — проверка
занимает три секунды и ловит почти любую ошибку в углах.
Сравните площадь с прямоугольником. Треугольник с той же стороной
и высотой ровно вдвое меньше, значит $S$ не может быть больше $a\cdot h$.
В равнобедренном проверьте равенство: два угла обязаны совпасть.
Не совпали — делили не тот угол.
Проверьте пару «сторона и высота». Высота должна быть проведена именно
к той стороне, которую вы взяли.
Что видно по ответу
Где искать ошибку
Площадь вышла вдвое больше ожидаемой
Забыт множитель $\dfrac12$
Сумма углов не равна $180^\circ$
Ошибка в вычитании или взят не тот угол
Площадь больше произведения стороны на высоту
В формулу подставлена боковая сторона вместо высоты
На что обратить внимание
Частые ошибки
В площади забывают про множитель $\dfrac12$ и берут просто $a\cdot h$.
Высоту берут не к тому основанию: высота и сторона должны быть «парой».
В равнобедренном делят на 2 угол при вершине, а делить нужно остаток $180^\circ-\alpha$.
Путают синус и косинус: синус — это противолежащий катет к гипотенузе.
Потренируйтесь
Закрепите на тренажёре
В каталоге задание №15 собрано по подтипам: углы, элементы, площадь и тригонометрия
треугольника. Числа каждый раз новые, ответы проверяются автоматически.