Правил здесь всего несколько, и все они об одном. Разберём главное:
почему вписанный угол вдвое меньше, как не перепутать направление
и почему угол на диаметр не нужно запоминать отдельно.
Главная идея: всё крутится вокруг дуги.
Дуга — это мера куска окружности, она измеряется в градусах, как и углы.
Центральный угол равен своей дуге, вписанный — половине той же дуги.
Отсюда и «вписанный вдвое меньше центрального»: они меряют одну и ту же дугу,
просто смотрят на неё из разных точек.
Алгоритм
4 шага для любой задачи об углах окружности
Найдите дугу, о которой идёт речь: на какую дугу опираются углы из условия.
Определите тип угла по вершине. Вершина в центре — угол центральный.
Вершина на самой окружности — вписанный.
Переведите через дугу. Центральный равен дуге; вписанный — половине дуги.
Так любой угол связывается с любым, даже если в условии их три.
Проверьте: вписанный на ту же дугу всегда меньше центрального ровно вдвое.
Разбираемся отдельно · 1
Где вершина — тот и угол
Перепутать типы углов — самая дорогая ошибка задания: ответ выходит вдвое больше
или вдвое меньше нужного. Различить их можно за секунду.
Центральный. Вершина в центре $O$.
Равен дуге $AB$, на которую опирается.
Вписанный. Вершина на окружности.
Равен половине дуги $AB$.
Как запомнить направление: из центра видно «широко», с края — «узко».
Поэтому центральный угол больше, а вписанный — вдвое меньше. Если в ответе вписанный
получился больше центрального, направление перепутано.
Разбираемся отдельно · 2
Угол на диаметр не нужно запоминать
Правило «угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$» обычно учат отдельно.
На самом деле это не новое правило, а тот же самый вписанный угол.
Диаметр делит окружность пополам, значит дуга $AB$ равна $180^\circ$.
Вписанный угол равен половине дуги: $\dfrac{180^\circ}{2}=90^\circ$.
Что это даёт: правило работает и в обратную сторону. Если вписанный угол
оказался $90^\circ$ — значит, он опирается на диаметр, и отрезок $AB$ проходит
через центр. В задачах это часто и есть спрятанная подсказка.
Пример 1
Из центрального во вписанный
Центральный угол $AOB$ равен $80^\circ$. Найдите вписанный угол $ACB$,
опирающийся на ту же дугу $AB$.
Оба угла опираются на одну дугу $AB$ — значит, их можно связать.
Дуга $AB$ равна центральному углу: $\smile AB=80^\circ$.
Вписанный равен половине дуги: $\angle ACB=\dfrac{80^\circ}{2}=40^\circ$.
Проверка: вписанный должен получиться меньше центрального — $40^\circ<80^\circ$, сходится.
Ответ: 40°.
Пример 2
Обратный ход: из вписанного в центральный
Вписанный угол $ACB$ равен $35^\circ$. Найдите центральный угол $AOB$,
опирающийся на ту же дугу.
Проверка: обратный ход — из $70^\circ$ вписанный вышел бы $35^\circ$. Совпало с условием.
Ответ: 70°. Здесь умножаем на 2, а не делим — направление обратное примеру 1.
Попробуйте сами · 1
Найдите второй угол
Чертёж один и тот же, но известен то один угол, то другой.
Следите за направлением: делить или умножать.
Попробуйте сами · 2
Поймай ошибку
Чужое решение, в нём один шаг сломан. Найдите какой — это учит проверять и своё.
Проверь себя
Как убедиться, что ответ верный
Сравните два угла. Вписанный на ту же дугу обязан быть меньше центрального ровно вдвое.
Получилось наоборот — перепутано направление.
Пройдите обратный ход. Из найденного угла получите тот, что был дан в условии.
Не вернулись к исходному числу — ошибка в действии.
Проверьте границы. Центральный угол не бывает больше $360^\circ$, а вписанный,
опирающийся на дугу меньше полуокружности, — меньше $90^\circ$.
Что видно по ответу
Где искать ошибку
Вписанный получился больше центрального
Умножили там, где надо было делить: направление перепутано
Центральный вышел больше $360^\circ$
Дугу удвоили дважды
Ответ совпал с данным углом
Правило половины вообще не применили
В условии сказано «диаметр», а ответ не $90^\circ$
Не заметили, что дуга равна $180^\circ$
На что обратить внимание
Частые ошибки
Приравнивают вписанный угол к центральному. Вписанный — в два раза меньше.
Делят пополам не тот угол: половинится центральный, чтобы получить вписанный, а не наоборот.
Забывают, что угол на диаметр — ровно $90^\circ$, и начинают считать лишнее.
Берут углы, опирающиеся на разные дуги — тогда правило «в два раза» напрямую не работает.
Путают дугу и угол при ней. Дуга измеряется в градусах и равна центральному углу — это не длина.
Потренируйтесь
Закрепите на тренажёре
В каталоге задание №16 собрано по подтипам: центральные и вписанные углы, вписанные
и описанные окружности. Числа каждый раз новые, ответы проверяются автоматически.