Задание №17 — про прямоугольник, ромб, параллелограмм и трапецию: их площади, стороны,
углы и диагонали. Всё решается набором формул, которые надо знать наизусть.
Коротко: определите фигуру, вспомните её формулу площади и
свойства углов. У параллелограмма и трапеции площадь — это сторона (или полусумма оснований)
умноженная на высоту, а не на боковую сторону.
Главная идея: У всех формул этого задания один скелет: что-то умножить на высоту.
Различаются они только тем, что берут за это «что-то»: у параллелограмма — сторону,
у трапеции — полусумму оснований, у ромба через диагонали — их половинное
произведение. Если держать в голове скелет, формулы можно не заучивать.
Алгоритм
4 шага для этого задания
Опознайте фигуру по свойствам: диагонали равны — прямоугольник,
перпендикулярны — ромб, одна пара параллельных сторон — трапеция.
Возьмите её формулу площади.
Проверьте второй множитель: это должна быть высота,
а не боковая сторона.
Не потеряйте делители: пополам делят у трапеции (сумму оснований)
и у ромба (произведение диагоналей).
Памятка
Формулы и свойства
Прямоугольник: $S=a\cdot b$. Диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам.
Квадрат: $S=a^2$. Диагональ $d=a\sqrt2$.
Ромб: $S=\dfrac12 d_1 d_2$ (через диагонали) или $S=a\cdot h$. Диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.
Параллелограмм: $S=a\cdot h$ (сторона на высоту к ней). Противоположные стороны и углы равны, сумма соседних углов $180^\circ$.
Трапеция: $S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$ (полусумма оснований на высоту). Средняя линия $m=\dfrac{a+b}{2}$.
Пример 1
Площадь параллелограмма
Сторона параллелограмма равна 6, а высота, проведённая к ней, равна 4.
Найдите площадь.
Площадь параллелограмма: $S=a\cdot h$, где $h$ — высота именно к этой стороне.
$S=6\cdot 4=24$.
Ответ: 24.
Пример 2
Площадь трапеции
Основания трапеции равны 4 и 10, высота равна 3. Найдите площадь.
Площадь трапеции: $S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$, где $a,b$ — основания, $h$ — высота.
Площадь ромба через диагонали: $S=\dfrac12 d_1 d_2$.
$S=\dfrac12\cdot 6\cdot 8=\dfrac{48}{2}$.
$S=24$.
Ответ: 24.
Разбираемся отдельно
Почему у трапеции делят на два
Двойку в формуле трапеции забывают чаще всего — потому что она выглядит
произволом. На самом деле она означает вполне конкретную вещь.
Полусумма оснований — это средняя линия. Трапеция по площади равна
прямоугольнику той же высоты, у которого ширина как раз равна средней линии:
снизу шире, сверху уже, а в среднем ровно столько. Поэтому
$S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$ — это «средняя ширина умножить на высоту»,
и деление на два тут не правило, а смысл.
Попробуйте сами
Разберитесь по шагам
Вопросы собраны вокруг того, на чём в этом задании теряют баллы.
Проверь себя
Как убедиться, что ответ верный
Зажмите площадь трапеции между двумя прямоугольниками: она всегда
больше $b\cdot h$ по меньшему основанию и меньше $a\cdot h$ по большему.
Проверьте делители. Пополам делят у трапеции и у ромба через диагонали;
у параллелограмма и прямоугольника — нет.
Проверьте, что второй множитель — высота. Если это боковая сторона,
площадь получится завышенной.
Сверьте свойство с фигурой: «диагонали равны» — прямоугольник,
«перпендикулярны» — ромб. Перепутали фигуру — перепутали и формулу.
Что видно по ответу
Где искать ошибку
Ответ вдвое больше ожидаемого
Потерян множитель $\dfrac12$ у трапеции или ромба
Площадь больше прямоугольника по большему основанию
Не поделили сумму оснований на два
Ответ завышен, но не вдвое
В формулу подставлена боковая сторона вместо высоты
На что обратить внимание
Частые ошибки
В параллелограмме и трапеции умножают на боковую сторону вместо высоты.
В трапеции забывают делить сумму оснований на 2 (берут $(a+b)\cdot h$).
В ромбе через диагонали забывают множитель $\dfrac12$.
Путают свойства: «диагонали равны» — у прямоугольника, «перпендикулярны» — у ромба.
Потренируйтесь
Закрепите на тренажёре
В каталоге задание №17 собрано по подтипам: прямоугольник и ромб, трапеция, параллелограмм.
Числа каждый раз новые, ответы проверяются автоматически.