Разбор задания №18 ОГЭ — фигуры на квадратной решётке

Коротко: если сторона и высота фигуры идут вдоль линий сетки — считаем по обычным формулам, измеряя их в клетках. Если стороны наклонные — достраиваем до прямоугольника или применяем формулу Пика.

Главная идея: Клетка — это единица измерения, и больше ничего нового здесь нет. Все обычные формулы работают как всегда, просто длины считают в клетках. Отдельный приём нужен только тогда, когда стороны идут наискосок: тогда фигуру либо достраивают до прямоугольника, либо считают по формуле Пика.

4 шага для этого задания

1. Посмотрите, идут ли нужные отрезки по линиям сетки. Это главная развилка.
2. Идут — берите обычную формулу и считайте длины прямо в клетках.
3. Не идут — достройте до прямоугольника и вычтите лишние уголки, либо примените формулу Пика $S=В+\dfrac{Г}{2}-1$.
4. Длину наклонного отрезка берите по теореме Пифагора, а не прикидывайте на глаз.

Три рабочих способа

• По формуле: площадь треугольника $S=\dfrac12 a h$, прямоугольника $S=a\cdot b$ — стороны и высоты считаем в клетках.
• Достраивание: наклонную фигуру «обводим» прямоугольником и вычитаем площади лишних прямоугольных треугольников по углам.
• Формула Пика: $S=В+\dfrac{Г}{2}-1$, где $В$ — число узлов внутри фигуры, $Г$ — число узлов на границе.
• Длина наклонного отрезка — по теореме Пифагора: горизонталь и вертикаль (в клетках) — катеты, отрезок — гипотенуза.

Достраивание словами объяснить трудно, а на картинке видно сразу: фигуру обводят прямоугольником и отрезают лишние уголки.

Площадь треугольника по клеткам

Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге со стороной клетки 1.

1. Катеты идут по линиям сетки. Измеряем в клетках: основание $=6$, высота $=4$.
2. Площадь прямоугольного треугольника: $S=\dfrac12\cdot 6\cdot 4=\dfrac{24}{2}$.
3. $S=12$.

Длина наклонного отрезка

Найдите длину отрезка, если по горизонтали он проходит 3 клетки, а по вертикали — 4 клетки.

1. Наклонный отрезок — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 (в клетках).
2. По теореме Пифагора: $\ell=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$.
3. $\ell=5$.

Когда стороны наклонные — формула Пика

Если у фигуры все вершины в узлах сетки, а стороны наклонные, удобно посчитать площадь по формуле Пика.

1. Считаем узлы строго внутри фигуры — это $В$.
2. Считаем узлы, лежащие на сторонах и в вершинах, — это $Г$.
3. Подставляем в формулу: $S=В+\dfrac{Г}{2}-1$.

Когда нужна формула Пика, а когда нет

Формулу Пика часто пытаются применять там, где она не нужна, — и путаются в узлах. Признак, по которому её выбирают, простой.

Разберитесь по шагам

Вопросы собраны вокруг того, на чём в этом задании теряют баллы.

Как убедиться, что ответ верный

1. Посчитайте вторым способом. Площадь по Пику обязана совпасть с площадью через достраивание — это самая надёжная проверка задания.
2. Проверьте правдоподобие площади: по клеткам она получается целой или с половиной. Дробь вроде 7,3 клетки — верный признак ошибки.
3. Наклонный отрезок длиннее каждого из катетов и короче их суммы. Вышло иначе — ошибка в Пифагоре.
4. Обведите фигуру глазами по контуру и убедитесь, что взятая высота действительно перпендикулярна основанию.

Частые ошибки

Закрепите на тренажёре

В каталоге задание №18 собрано по подтипам: треугольники, четырёхугольники, отрезки и окружности на решётке. Фигуры каждый раз новые, ответы проверяются автоматически.