Чертежа нет, считать нечего. Всё задание — про одно умение:
отличить «всегда» от «иногда». Разберём, как это делается быстро и наверняка.
Главная идея: утверждение верно, только если оно
выполняется всегда, без единого исключения. А чтобы объявить его неверным,
достаточно одного примера, где оно ломается. Стороны неравноправны: доказать —
это работа с теоремой, опровергнуть — одна картинка. Поэтому ищите не подтверждение,
а исключение: так быстрее и надёжнее.
Алгоритм
4 шага для каждого утверждения
Найдите слово-ловушку: «любой», «всякий», «каждый», «всегда». Оно означает, что
исключений быть не должно ни одного.
Попробуйте сломать. Придумайте фигуру, которая условию подходит, а выводу — нет.
Получилось — утверждение неверное, дальше можно не думать.
Не сломалось — вспомните, откуда это. Определение, аксиома или теорема из учебника?
Тогда верно. Не смогли вспомнить — перечитайте формулировку ещё раз, там может быть подмена.
Запишите номера верных по возрастанию, подряд, без пробелов и запятых.
Разбираемся отдельно · 1
Что такое контрпример на самом деле
Контрпример — не любой пример «не по теме». Он обязан быть устроен строго:
он подходит под условие утверждения (действительно является той фигурой, о которой речь);
но не выполняет вывод (нужное свойство у него отсутствует).
Почему это важно: для утверждения «любой прямоугольник — квадрат» контрпример —
прямоугольник $2\times 5$: он прямоугольник (условие выполнено), но не квадрат (вывод нарушен).
А вот ромб контрпримером не будет — он и не прямоугольник, то есть под условие не подходит
и ничего не опровергает. Квадрат $3\times 3$ тоже не годится: он утверждение подтверждает.
Разбираемся отдельно · 2
Куда смотрит стрелка
Половина неверных утверждений — это верное свойство, развёрнутое не в ту сторону.
Помогает картинка вложенности фигур.
Как читать: «всякий $A$ есть $B$» верно, когда $A$ лежит внутри $B$.
Квадрат внутри прямоугольников — значит «всякий квадрат есть прямоугольник» верно.
Обратное — «всякий прямоугольник есть квадрат» — неверно: в жёлтой области полно фигур
вне зелёной. Стрелка всегда идёт от узкого к широкому, не наоборот.
Пример
Разбор настоящего задания
Какие из следующих утверждений верны? В ответ запишите номера верных утверждений.
1) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$.
Верно.
Один угол $90^\circ$, а всего углов $180^\circ$, значит на два острых остаётся $90^\circ$. Сломать нельзя — это следствие теоремы о сумме углов.
2) Любой прямоугольник является квадратом.
Неверно.
Контрпример: прямоугольник со сторонами 2 и 5 — прямоугольник, но не квадрат. Стрелка развёрнута не в ту сторону: наоборот было бы верно.
3) Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
Верно.
Это аксиома — выполняется всегда, исключений не бывает по определению.
4) Сумма углов любого четырёхугольника равна $180^\circ$.
Неверно.
«Почти верное» число: $180^\circ$ — это у треугольника, а у четырёхугольника $360^\circ$. Контрпример — любой квадрат: у него четыре угла по $90^\circ$.
Решение по шагам:
Проверяем каждое утверждение отдельно: верно оно всегда или нет.
Для сомнительных ищем контрпример: для №2 — прямоугольник $2\times 5$, для №4 — квадрат с суммой углов $360^\circ$.
Верные — №1 и №3.
Проверка: к каждому «неверно» мы назвали конкретную фигуру, а к каждому «верно» — аксиому или теорему. Если хоть на одном пункте сказать нечего — надо вернуться и перечитать.
Ответ: 13 — номера верных по возрастанию, без пробелов и запятых.
Попробуйте сами · 1
Верно или неверно
Ровно то, что придётся делать на экзамене, только по одному утверждению за раз.
Попробуйте сами · 2
Найди контрпример
Утверждение заведомо неверное. Выберите фигуру, которая его действительно ломает —
то есть подходит под условие, но не выполняет вывод.
Проверь себя
Как убедиться, что ответ верный
К каждому «неверно» назовите фигуру. Вслух, конкретно: «прямоугольник два на пять».
Не смогли назвать — возможно, утверждение всё-таки верное.
К каждому «верно» назовите источник. Определение, аксиома, теорема.
Не вспомнили ни одного — перечитайте: скорее всего, там подмена.
Проверьте направление. Если в утверждении «всякий $A$ есть $B$», мысленно поставьте
фигуры в картинку вложенности: узкое внутри широкого.
Проверьте формат. Только цифры, по возрастанию, без пробелов и запятых: 13, а не «1, 3».
Формулировка
Что проверить
«Любой», «всякий», «каждый»
Хватит одного исключения, чтобы утверждение стало неверным