Задание №8 — «Найдите значение выражения» со степенями и квадратными корнями.
Решается по свойствам степеней и корней: главное — не считать «в лоб», а упростить.
Коротко: при умножении степеней с одинаковым основанием
показатели складываем, при делении — вычитаем; корни перемножаем под одним знаком корня.
Большие числа почти никогда не нужно вычислять — всё сокращается.
Главная идея: все свойства степеней — про то, что происходит
с показателями, пока основание остаётся одним и тем же. Умножаем степени — показатели
складываются, делим — вычитаются, возводим степень в степень — перемножаются. Само основание
при этом не меняется никогда. Если помнить эту одну фразу, таблицу свойств можно не учить:
она из неё выводится.
Ответ: 4. Основание остаётся тем же — работаем только с показателями.
Пример 2
Произведение корней
Можно ли объединить корни?
↓
↓
При умножении корней подкоренные выражения перемножаются:
$\sqrt{12}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{12\cdot 3} = \sqrt{36} = 6$. Точно так же
$\sqrt{5}\cdot\sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$ — ищите под корнем полный квадрат.
Так делать нельзя
Корень из суммы
5 ≠ 7
Корень из суммы нельзя раскладывать на сумму корней:
$\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, а $\sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4 = 7$. Перемножать под корнем
можно, складывать — нет.
Пример 3
Корни из десятичных и отрицательная степень
Найдите значение выражения $\sqrt{2{,}5}\cdot\sqrt{10} + 5^{-2}\cdot 5^{4}$.
Первое слагаемое: $\sqrt{2{,}5}\cdot\sqrt{10} = \sqrt{2{,}5\cdot 10} = \sqrt{25} = 5$.
Это самая устойчивая ошибка темы, и держится она потому, что выглядит
«по аналогии»: раз корень из произведения распадается, значит и из суммы тоже.
Проверяется она за пять секунд.
Контрпример: $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, а $\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7$.
Пять и семь — разные числа, значит равенства нет. Достаточно один раз посчитать,
чтобы больше не путать.
Почему с произведением можно, а с суммой нельзя: корень — это степень $\tfrac12$,
а свойства степеней работают с умножением. Умножение внутри корня разбирается
($\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$), а сложение — нет: складывать показатели
и складывать основания — разные вещи.
На что обратить внимание
Поймай ошибку
↓
Путают знак показателя: $5^{-2}\cdot5^{4}=5^{2}$, а не $5^{-8}$ или $5^{6}$.
Проверь себя
Как убедиться, что ответ верный
Проверьте на маленьких числах. Сомневаетесь в свойстве — подставьте двойки
и посчитайте обе части: $2^3\cdot2^4$ равно $8\cdot16=128$, и $2^7=128$. Сходится.
Корень проверяйте возведением в квадрат. Получили $\sqrt{a}=b$ — возведите $b$
в квадрат, должно выйти $a$.
Следите за основанием. Оно не меняется ни при умножении, ни при делении:
$2^3\cdot2^4$ — это степень двойки, а не четвёрки.
Проверьте знак показателя. Отрицательный показатель означает дробь:
$5^{-2}=\dfrac{1}{25}$, а не $-25$.
Что видно по ответу
Где искать ошибку
Основание изменилось
Перемножили основания вместо сложения показателей
Показатель получился заметно больше нужного
Показатели перемножены там, где их складывают
Ответ отрицательный при чётной степени
Минус из показателя перенесён в знак числа
Корень «разобрали» по слагаемым
Свойство про произведение применено к сумме
Памятка
Как решать задание №8
Посмотри, какие основания одинаковые.
Примени нужное свойство степеней.
Не вычисляй большие степени раньше времени.
В выражениях с корнями ищи полный квадрат.
Помни: корень из суммы не раскладывается.
Только после упрощения выполняй окончательное вычисление.
Проверка
Теперь сами
Одно выражение уровня настоящего задания №8. Решайте на бумаге,
ответ впишите в поле.
Потренируйтесь
Закрепите на тренажёре
Правила понятны? Теперь лучше закрепить их на настоящих заданиях №8:
числа каждый раз новые, ответы проверяются автоматически.