Разбор задания №9 ОГЭ — уравнения и системы

Коротко: линейное — переносим и делим; квадратное — дискриминант или теорема Виета; дробно-рациональное — общий знаменатель и обязательно проверка ОДЗ (знаменатель не равен нулю).

Главная идея: под одной формулировкой «решите уравнение» прячутся четыре разных задачи, и приёмы у них не общие. Поэтому решение начинается не со счёта, а с одного вопроса: какого типа уравнение передо мной. Тип виден по записи за пять секунд, и дальше остаётся применить свой приём.

4 шага для любого уравнения

1. Определите тип по виду записи: есть $x^2$ — квадратное; $x$ стоит в знаменателе — дробно-рациональное; два уравнения в фигурной скобке — система; ничего из этого — линейное.
2. Примените приём своего типа: перенос и деление, дискриминант или Виет, числитель равен нулю, подстановка или сложение.
3. Выпишите все корни. У квадратного их обычно два, у системы ответ — пара чисел.
4. Подставьте найденное в исходное уравнение. Это ловит и арифметику, и потерянный знак.

Что нужно помнить

• Линейное $ax+b=0$: переносим неизвестные в одну сторону, числа — в другую, делим на коэффициент.
• Квадратное $ax^2+bx+c=0$: дискриминант $D=b^2-4ac$, корни $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$. Если $D<0$ — корней нет.
• Теорема Виета (для $x^2+px+q=0$): $x_1+x_2=-p$, $x_1\cdot x_2=q$ — часто корни видны устно.
• Дробно-рациональное: дробь равна нулю, когда числитель $=0$, а знаменатель $\ne 0$. Корни, обнуляющие знаменатель, отбрасываем.
• Система уравнений: два способа — подстановка (выразить одну переменную и подставить в другое уравнение) или сложение (сложить/вычесть уравнения, чтобы одна переменная сократилась). Ответ — пара чисел $(x;\,y)$.

Узнай тип уравнения

Первый шаг решения. Если он сделан верно, дальше всё идёт по накатанной.

Линейное уравнение

Решите уравнение $5(x+2)-3=2x+16$.

1. Раскрываем скобки: $5x+10-3=2x+16$, то есть $5x+7=2x+16$.
2. Переносим: $5x-2x=16-7$, получаем $3x=9$.
3. Делим: $x=3$.

Квадратное уравнение

Решите уравнение $x^2-5x+6=0$.

1. Дискриминант: $D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$.
2. Корни: $x=\dfrac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\dfrac{5\pm 1}{2}$, то есть $x_1=3$, $x_2=2$.
3. Проверка по Виета: $x_1+x_2=5$, $x_1\cdot x_2=6$ — сходится.

Дробно-рациональное уравнение

Решите уравнение $\dfrac{x^2-9}{x-3}=0$.

1. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $x^2-9=0$, отсюда $x=3$ или $x=-3$.
2. Проверяем ОДЗ: знаменатель $x-3\ne 0$, значит $x\ne 3$. Корень $x=3$ отбрасываем.
3. Остаётся $x=-3$.

Система уравнений

Решите систему уравнений $\begin{cases} x+y=5 \\ 2x-y=1 \end{cases}$

Способ 1 — подстановка (работает всегда):

1. Из первого уравнения выражаем одну переменную: $y=5-x$.
2. Подставляем во второе уравнение вместо $y$: $2x-(5-x)=1$.
3. Раскрываем и упрощаем: $2x-5+x=1$, то есть $3x-5=1$, значит $3x=6$, $x=2$.
4. Возвращаемся к $y=5-x$: $y=5-2=3$.

Способ 2 — сложение (здесь быстрее, потому что $y$ и $-y$ взаимно уничтожаются):

1. Складываем уравнения почленно: $(x+y)+(2x-y)=5+1$.
2. $y$ сокращается: $3x=6$, значит $x=2$.
3. Подставляем $x=2$ в первое уравнение: $2+y=5$, значит $y=3$.

Почему в дробном уравнении корень выбрасывают

Это единственное место в задании, где верно найденный корень оказывается неверным ответом. Выглядит как придирка, но причина простая.

Поймай ошибку

Чужое решение, в нём сломан один шаг. Здесь собраны те самые ошибки, на которых теряют балл чаще всего.

Проверь ответ подстановкой

Тот самый навык, который спасает балл за десять секунд: подставить и посмотреть, сходится ли равенство.

Как убедиться, что ответ верный

1. Подставьте корень в исходное уравнение — не в преобразованное. Ошибка чаще всего прячется именно в преобразованиях, и подстановка в них её не поймает.
2. Квадратное проверьте по Виета: сумма корней равна $-p$, произведение равно $q$. Это быстрее подстановки и ловит перепутанный знак.
3. Систему подставьте в оба уравнения. Пара, подходящая только к одному из них, решением не является.
4. Сосчитайте корни. При $D>0$ их два, при $D=0$ один, при $D<0$ их нет. Один корень при положительном дискриминанте — потеряли второй.

Частые ошибки

Закрепите на тренажёре

В каталоге задание №9 собрано по подтипам: линейные, квадратные, дробно-рациональные уравнения и системы. Числа каждый раз новые, ответы проверяются автоматически.