Загрузка заданий...

Вариант 469 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 16.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	594	420
2	420	297
3	148	105
4	297	210

Решение

A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.

Ответ: 1243

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?

Решение

Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.

Ответ: 4

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна $\frac{1}{32}$ м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.

Ответ: 312.5

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.

Ответ: 150

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Площадь листа A1 равна половине площади A0: $\frac{1}{2}$ м². Масса одного листа: 120 · $\frac{1}{2}$ = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.

Ответ: 4800

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{5}{4} + 0,45$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{5}{4} + 0,45$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{5}{4}) + 0,45 = 1,7$.

Получили результат $1,7$.

Ответ: $1,7$.

Ответ: 1,7

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел $\frac{11}{7}$, $\sqrt{5}$, $\frac{5}{2}$, 3,16 отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{11}{7}$

$\sqrt{5}$

$\frac{5}{2}$

3,16

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 1 и 2.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{11}{7}$ ≈ 1,5714

2) $\sqrt{5}$ ≈ 2,2361

3) $\frac{5}{2}$ ≈ 2,5

4) 3,16 ≈ 3,16

Точке A соответствует вариант 1.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(2\sqrt{10})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (2√10)².

Используем свойство степени произведения: (2√10)² = 2² · (√10)².

Получаем 4 · 10 = 40.

Ответ: 40.

Ответ: 40

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 5 + 3(4x + 6) = -x - 16

Решение

Решим уравнение: 5 + 3(4x + 6) = -x - 16

Раскроем скобки:

5 + 3(4x + 6) = -x - 16

5 + 12x + 18 = -x - 16

Приведём подобные слагаемые в левой части:

12x + 23 = -x - 16

Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

13x = -39

Разделим обе части на 13:

x = -39 / 13

x = -3

Ответ: -3

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 17 чёрных, 11 жёлтых и 12 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 11 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{11}{40}$ = 0,275.

Ответ: 0,275.

Ответ: 0,275

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a > 0, c < 0

2) a < 0, c > 0

3) a > 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -4 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Подставим t_F = -4 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(-4 − 32)/9 = -20.

Ответ: -20.

Ответ: -20

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-8x < -6x + 1

(0,5;+∞)

(0;+∞)

(-0,5;+∞)

(-∞;0,5)

Решение

Решим неравенство: -8x < -6x + 1.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -2x > 1.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -2: x > -0,5.

Значит, x больше -0,5.

Этому соответствует промежуток (-0,5;+∞).

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 20 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 7 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение

Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 20, d = -7.

Последний положительный член прогрессии равен 6, значит секунд движения до полной остановки было 3.

Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 3·(20 + 6)/2 = 39.

Ответ: 39.

Ответ: 39

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Биссектриса равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равна a·√3 / 2.

Значит, a·√3 / 2 = 12√3.

Отсюда a / 2 = 12, значит a = 24.

Ответ: 24.

Ответ: 24

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 76°. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение

Трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная.

В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны.

Поэтому ∠B = 180° - ∠A? Нет, для оснований AD и BC углы A и D при одном основании, B и C — при другом. А в равнобедренной трапеции ∠A = ∠D и ∠B = ∠C, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.

Следовательно, ∠B = 180° - 76° = 104°.

Ответ: 104.

Ответ: 104

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание, если высота равна 5, большее основание равно 15, а угол при основании равен 45°.

Решение

При угле 45° разность оснований равна двум высотам.

Меньшее основание равно 15 - 2·5 = 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 6 и 8.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно: по определению окружности.

2) Неверно: площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

3) Верно: 1 + 2 < 4, не выполняется неравенство треугольника.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(8-x)(x^2-64)\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: разложить через $(x-8)$.

Шаг 1. $x^2-64=(x-8)(x+8)$ и $8-x=-(x-8)$.

Шаг 2. Перемножаем: $(8-x)(x^2-64)=-(x-8)^2(x+8)$.

Шаг 3. Неравенство: $-(x-8)^2(x+8)\ge0$.

Шаг 4. Делим на $-1$: $(x-8)^2(x+8)\le0$.

Шаг 5. Произведение $\le0$ когда $x+8\le0\Rightarrow x\le-8$, или $x=8$.

Ответ: $(-\infty;\;-8]\cup\{8\}$.

Правильный ответ: (-∞;-8]∪{8}

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты, смеси и сплавы

Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 81% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 83% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в втором растворе?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.

Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.

Шаг 2. При полном смешивании 50 кг получается раствор с концентрацией 81%:

30·x + 20·y = 50·0,81 = 40,5 ...(1).

Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 83%:

(x + y)/2 = 0,83 ⟹ x + y = 1,66 ...(2).

Шаг 4. Из (2): y = 1,66 − x. Подставляем в (1):

30·x + 20·(1,66 − x) = 40,5

30x + 33,2 − 20x = 40,5

10x = 7,3 ⟹ x = 0,73.

y = 1,66 − 0,73 = 0,93.

Шаг 5. Масса кислоты во 2-м сосуде: 20·0,93 = 18,6 кг.

Ответ: 18,6.

Правильный ответ: 18,6

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}2{,}5x-3{,}5,& x<2,\\-3x+7{,}5,& 2\le x\le 3,\\x-6,& x>3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: (-3;-1,5)∪{1,5}.

Ответ: (-3;-1,5)∪{1,5}.

Правильный ответ: (-3;-1,5)∪{1,5}

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 12, а сторона AC в 1,5 раза больше стороны BC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: четыре точки K, P, B, C лежат на окружности — треугольники AKP и ABC подобны.

Шаг 1. Угол A общий для △AKP и △ABC.

∠AKP = ∠ABC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу KPBC).

По двум углам: △AKP ∼ △ABC.

Шаг 2. Коэффициент подобия = AK/AB = KP/BC.

По условию AC = 1,5·BC, поэтому AK/AC = KP/BC.

KP = AK · BC/AC = AK / 1,5 = 12 / 1,5 = 8.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: два треугольника с общим основанием и равными высотами имеют равные площади.

Шаг 1. △ABD и △CBD — разные, но оба имеют основание BD.

BC ∥ AD ⟹ △ABC и △DBC имеют одинаковую высоту до прямой BC.

S(△ABD) = S(△ACD) (общее основание AD, одинаковая высота от BC ∥ AD).

Шаг 2. Вычтем из обеих частей S(△AOD) (общую часть):

S(△AOB) = S(△COD). ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 80 ⟹ a+b = 40.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·320/40 = 16.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=40 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=16:

a = 8, b = 32.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 16·$\frac{8}{40}$ = 3,2.

Ответ: 3,2.

Правильный ответ: 3,2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.