Загрузка заданий...

Вариант 492 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 16.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A1, A2 и A4.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A1, A2, A4.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	841	594
2	1189	841
3	297	210
4	594	420

Решение

A0 — 1189 × 841 мм, это №2. A1 — 841 × 594 мм, это №1. A2 — 594 × 420 мм, это №4. A4 — 297 × 210 мм, это №3. Ответ: 2143.

Ответ: 2143

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A2?

Решение

Из A2 получают два листа A3, а из каждого A3 — два листа A4. Всего 2 · 2 = 4 листа A4. Ответ: 4.

Ответ: 4

3 Задание 3 1 балл

Найдите ширину листа бумаги формата A0. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A0 имеет размеры примерно 1189 × 841 мм. Ширина равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.

Ответ: 840

4 Задание 4 1 балл

Найдите отношение длины меньшей стороны листа формата A4 к большей. Ответ округлите до десятых.

Решение

Размер A4: 297 × 210 мм. Отношение меньшей стороны к большей: 210 : 297 ≈ 0,707. Округляем до десятых: 0,7. Ответ: 0,7.

Ответ: 0.7

5 Задание 5 1 балл

Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A3 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 15 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.

Решение

При переходе от A4 к A3 линейные размеры увеличиваются примерно в √2 раза. Поэтому размер шрифта: 15 · √2 ≈ 21,2. Округляем до целого: 21. Ответ: 21.

Ответ: 21

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{9}{4} : \frac{1}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{9}{4} : \frac{1}{5}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{9}{4}) : \frac{1}{5} = \frac{45}{4}$.

Получили дробь $\frac{45}{4}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $11,25$.

Ответ: $11,25$.

Ответ: 11,25

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} > 0$

a > -1

-2 - a > 0

-2 - a < 0

Решение

По чертежу видно, что -2 < a < -1.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

2) a > -1 ⇔ a > -1 — неверно.

3) -2 - a > 0 ⇔ a < -2 — неверно.

4) -2 - a < 0 ⇔ a > -2 — верно.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{8} - 1)(\sqrt{8} + 1)$$

Решение

Вычислим выражение: (√8 - 1)(√8 + 1).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√8)² - 1² = 8 - 1 = 7.

Ответ: 7.

Ответ: 7

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -x + y = 0 \\ 5x + 2y = 42 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

-x + y = 0

5x + 2y = 42

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 5, а второе — на -1.

Получим:

$(-x + y = 0) \cdot 5$: -5x + 5y = 0

$(5x + 2y = 42) \cdot -1$: -5x - 2y = -42

Вычтем второе уравнение из первого:

7y = 42

y = 42 / 7 = 6

Подставим y = 6 в первое уравнение:

-x + y = 0

Получаем x = 6.

Ответ: (6;6)

Ответ: 6;6

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события $A \cap \overline{B}$.

Решение

Всего элементарных исходов: 8. Благоприятных для события $A \cap \overline{B}$: 1.

$P=1/8=0,125$.

Ответ: 0,125

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a < 0, c > 0

2) a > 0, c > 0

3) a > 0, c < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 149 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Подставим t_F = 149 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(149 − 32)/9 = 65.

Ответ: 65.

Ответ: 65

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-8x + 7 > 2x - 1

(-∞;0)

(-∞;0,8)

(-0,6;+∞)

(-∞;-0,6)

Решение

Решим неравенство: -8x + 7 > 2x - 1.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -10x < -8.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -10: x < 0,8.

Значит, x меньше 0,8.

Этому соответствует промежуток (-∞;0,8).

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в девятом ряду амфитеатра?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 17, d = 3.

Найдём 9-й член: a9 = a₁ + (9 - 1)·d = 17 + 8·3 = 41.

Ответ: 41.

Ответ: 41

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 10. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = $\frac{1}{2}$ · 4 · 10 = $\frac{40}{2}$ = 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Периметр треугольника равен 56, одна из сторон равна 15, а радиус вписанной в него окружности равен 7. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = pr, где p — полупериметр.

p = 56 / 2 = 28.

S = p·r = 28 · 7 = 196.

Ответ: 196.

Ответ: 196

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В ромбе ABCD угол ABC равен 82°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение

В ромбе противоположные углы равны, а соседние дополняют друг друга до 180°.

Следовательно, угол C равен 180° - 82° = 98°.

Диагональ AC биссектрисой угла C.

Поэтому ∠ACD = 98° / 2 = 49°.

Ответ: 49.

Ответ: 49

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

Решение

Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.

Катеты равны 7 и 9.

Больший катет равен 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно: сумма всех углов 180°.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x+2)^4+(x+2)^2-12=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=(x+2)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+t-12=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t+4)(t-3)=0$.

Корни: $t_1=-4$, $t_2=3$.

Шаг 3. Берём только $t=3$ (так как $t\ge0$).

Шаг 4. Решаем $(x+2)^2=3$:

$x+2=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=-2\pm\sqrt{3}$.

Ответ: $-2-\sqrt{3};\quad -2+\sqrt{3}$.

Правильный ответ: -2-√3;-2+√3

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 216 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 9) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: вторым — 216/x ч, первым — 216/(x+9) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 4 ч больше:

216/x − 216/(x+9) = 4.

Шаг 4. Умножаем на x(x+9):

216·(x+9) − 216·x = 4·x·(x+9).

1944 = 4·x² + 36·x.

4x² + 36x − 1944 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1944 = 1296 + 31104 = 32400, √D = 180.

x = (−36 + 180) / (2·4) = 18 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: второй — 216/18 = 12 ч, первый — 216/27 = 8 ч.

12 − 8 = 4 = 4. ✓

Ответ: 18.

Правильный ответ: 18

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 8|x| + 2\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 8x + 2.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 8x + 2.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 2. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 2.

Проверка: при m = 2 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.

Ответ: 2.

Правильный ответ: 2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 135°, а CD = 15.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.

Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.

h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin30°.

Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:

h = CD · sin(∠BCD) = 15 · sin135°.

Шаг 3. Из равенства: AB · sin30° = 15 · sin135°.

AB = 15 · sin135°/sin30° (здесь sin135°/sin30° = √2).

AB = 15√2.

Ответ: 15√2.

Правильный ответ: 15√2

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы PA и QB к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ PA ∥ QB.

Шаг 2. В треугольниках TPA и TQB (T — точка на PQ):

∠ATP = ∠BTQ (вертикальные), PA ∥ QB ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TP/TQ = a:b.

Шаг 3. TP/TQ = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как a:b. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 1500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 200 ⟹ a+b = 100.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·1500/100 = 30.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=100 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=30:

a = 10, b = 90.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 30·10/100 = 3.

Ответ: 3.

Правильный ответ: 3

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.