Загрузка заданий...
Вариант 501 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 16.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
| Объекты | жилой дом | яблони | теплица | гараж |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, яблони — 3, теплица — 5, гараж — 2.
В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, яблони, теплица, гараж.
Получаем последовательность: 7352.
Ответ: 7352
2
Задание 2
1 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?
Решение
На все дорожки нужно 25 плиток.
В одной упаковке 6 плиток, поэтому потребуется ⌈25 / 6⌉ = 5 упаковок.
Ответ: 5.
Ответ: 5
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь, которую занимает баня. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Баня занимает 9 клеток. Площадь одной клетки равна 2 · 2 = 4 кв. м. Значит площадь бани: 9 · 4 = 36 кв. м.
Ответ: 36.
Ответ: 36
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь, которую занимает теплица, меньше площади, которую занимает гараж?
Решение
Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью гаража: (48 - 12) / 48 · 100% = 75%.
Ответ: 75.
Ответ: 75
5
Задание 5
1 балл
| Нагреватель (котёл) | Прочее оборудование и монтаж | Средн. расход газа / средн. мощность | Стоимость газа / электроэнергии | |
|---|---|---|---|---|
| Газовое отопление | 25 000 руб. | 17 552 руб. | 1,3 куб. м/ч | 5,2 руб./куб. м |
| Электр. отопление | 21 000 руб. | 15 000 руб. | 5,2 кВт | 4,1 руб./(кВт·ч) |
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
Решение
Начальные расходы на газовое отопление: 42552 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 36000 руб.
Разница в начальных расходах: 42552 - 36000 = 6552 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,3 · 5,2 = 6,76 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 5,2 · 4,1 = 21,32 руб./ч.
Экономия за час: 21,32 - 6,76 = 14,56 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 6552 / 14,56 = 450.
Ответ: 450.
Ответ: 450
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$1 - 0,02$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(1 - 0,02\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((1) - 0,02 = 0,98\).
Ответ: \(0,98\).
Ответ: 0,98
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из следующих чисел заключено между числами -1 и -0,5?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа -1 и -0,5. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 (-0,98) лежит между этими числами.
Ответ: 3
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$5\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{10} \cdot \sqrt{60}$$
Решение
Вычислим выражение: 5√6 · 4√10 · √60.
Перемножим коэффициенты: 5 · 4 = 20.
Подкоренные выражения дают: √6 · √10 · √60 = √(6·10·60) = √(3600) = 60.
Тогда всё выражение равно 20 · 60 = 1200.
Ответ: 1200.
Ответ: 1200
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{(4x + 4)}{2} - \frac{(-9x + 8)}{5} - 7x = 26$$
Решение
Решим уравнение: (4x + 4)/2 - (-9x + 8)/5 - 7x = 26
Домножим обе части на НОК знаменателей 2 и 5, то есть на 10.
Получим:
(20x + 20) - (-18x + 16) - 70x = 260
Приведём подобные слагаемые:
-32x + 4 = 260
Перенесём число в правую часть:
-32x = 256
Разделим обе части на -32:
x = 256 / -32
x = -8
Ответ: -8
Ответ: -8
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 80 карманных фонариков, поступивших в продажу, 76 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 80.
Благоприятных исходов: 4 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{4}{80}\) = 0,05.
Ответ: 0,05.
Ответ: 0,05
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) y = -12/x
Б) y = -0.75x - 1
В) y = -1x² + 5
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.
Ответ: 321
12
Расчёты по формулам
1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -85 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Подставим t_F = -85 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(-85 − 32)/9 = -65.
Ответ: -65.
Ответ: -65
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} 2x − 2,4 > -3,2 \\ 1,2 − 4x \geqslant 2,8 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 6 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 160 мг. Найдите массу изотопа через 24 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 160 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 24 минут пройдёт 4 промежутков по 6 минут.
Тогда масса станет равна 160·(\(\frac{1}{2}\))^4 = 10 мг.
Ответ: 10.
Ответ: 10
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AC = 56, BM – медиана, BM = 10. Найдите AM.
Решение
Медиана делит сторону, к которой проведена, пополам.
Поэтому AM = AC : 2 = 56 : 2 = 28.
Ответ: 28.
Ответ: 28
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 74°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Угол ACB — вписанный и опирается на дугу AB, значит центральный угол AOB равен 2·∠ACB.
∠AOB = 2 · 74° = 148°.
Так как AC и BD — диаметры, лучи OA и OC противоположны, а OB и OD противоположны.
Значит, ∠AOD и ∠AOB — смежные центральные углы.
∠AOD = 180° - 148° = 32°.
Ответ: 32.
Ответ: 32
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Основания трапеции равны 4 и 5, а высота равна 3. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Решение
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
m = (4 + 5) / 2 = 4,5.
Ответ: 4,5.
Ответ: 4,5
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение
Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.
По клеткам их длины равны 12 и 4.
Большая диагональ равна 12.
Ответ: 12.
Ответ: 12
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Верно.
2) Неверно: медиана вообще не обязана быть биссектрисой.
3) Верно.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \(\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{3}{x-1}-10=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=\frac{1}{x-1}\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2+3t-10=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t+5)(t-2)=0\).
Корни: \(t_1=-5\), \(t_2=2\).
Шаг 3. Обратная замена \(x=1+\frac{1}{t}\):
Если \(t=-5\): \(x-1=-\dfrac{1}{5}\Rightarrow x=\dfrac{4}{5}\).
Если \(t=2\): \(x-1=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\).
Шаг 4. ОДЗ: \(x\ne1\) — оба корня удовлетворяют.
Ответ: \(\dfrac{4}{5};\quad \dfrac{3}{2}\).
Правильный ответ: 4/5;3/2
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Моторная лодка прошла против течения реки 210 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.
Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.
Скорость против течения: x − 3. По течению: x + 3.
Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 4 ч больше):
210/(x − 3) − 210/(x + 3) = 4.
Шаг 3. Умножаем на (x−3)(x+3) = x²−9:
210(x+3) − 210(x−3) = 4(x²−9).
Шаг 4. Левая часть: 210·2·3 = 1260. Получаем квадратное уравнение:
4x² − 1260 − 36 = 0.
Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 18.
Шаг 6. Проверка: 210/15 = 14 ч, 210/21 = 10 ч, разность 4 ч. ✓
Ответ: 18.
Правильный ответ: 18
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{4x-5}{4x^2-5x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=5/4 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=5/4 \), откуда \( k=16/25 \).
Ответ: \(\frac{16}{25}\).
Правильный ответ: 16/25
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 18 и 82. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.
Шаг 1. Второй катет: √(82² − 18²) = √6400 = 80.
Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 18·\(\frac{80}{2}\) = 720.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу 82 и высоту h к ней: S = 82·h/2.
Шаг 4. Из равенства площадей: h = 18·\(\frac{80}{82}\) = 720/41.
Ответ: 720/41.
Правильный ответ: 720/41
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и CAB также равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.
Шаг 1. Углы DAC и DBC опираются на хорду DC и равны по условию.
По обратной теореме точки A, B, C, D лежат на одной окружности.
Шаг 2. Углы CDB и CAB опираются на хорду CB.
Как вписанные углы на одну дугу, они равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ABC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.
Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.
Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.
Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.
Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−14, 0), D = (14, 0) (|AD| = 28).
В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.
Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (28, h). На прямой BE точка E = (0, 28 − h), так как BE = 28.
Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·\(\frac{28}{4}\) = 21.
Шаг 5. AB = √(h² + (14)²) = √(441 + 196) = 7√13;
BC = 2·AB = 14√13; CA = 21√5.
Ответ: 7√13; 14√13; 21√5.
Правильный ответ: 7√13; 14√13; 21√5
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.