Загрузка заданий...

Вариант 508 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 16.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Никита летом отдыхает с папой в деревне Лягушкино. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Вятское в спортивный магазин. Из деревни Лягушкино в село Вятское можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Куровка до деревни Марусино, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Вятское. Есть и третий маршрут: в деревню Куровка можно свернуть на прямую тропинку в село Вятское, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Никита с дедушкой едут со скоростью 25 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 15 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Марусино	Вятское	Куровка
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Лягушкино, промежуточная деревня на прямом шоссе — Куровка, место поворота на другое шоссе — Марусино, конечный пункт — Вятское.

Получаем соответствие: Лягушкино — 4, Куровка — 1, Марусино — 3, Вятское — 2.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Марусино, Вятское, Куровка.

Следовательно, ответ: 321.

Ответ: 321

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Осиновка до села Николаево, если они поедут по шоссе через деревню Старая?

Решение

По шоссе путь состоит из двух участков: от Осиновка до Старая и от Старая до Николаево.

От Осиновка до Старая: 16 клеток · 1 км = 16 км.

От Старая до Николаево: 12 клеток · 1 км = 12 км.

Складываем: 16 + 12 = 28 км.

Ответ: 28.

Ответ: 28

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Масловка до села Захарово по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 12 км и 16 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 20 км.

Ответ: 20.

Ответ: 20

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Ёлочки в село Кленовое Володя с дедушкой, если они поедут сначала по шоссе, а затем свернут в деревню Сосенки на прямую грунтовую дорогу, которая проходит мимо пруда?

Решение

Первый участок — по шоссе от Ёлочки до Сосенки: 44 км.

Время на первом участке: 44 / 80 · 60 = 33.0 мин.

Второй участок — по прямой от Сосенки до Кленовое: 52 км.

Время на втором участке: 52 / 40 · 60 = 78.0 мин.

Общее время: 33.0 + 78.0 = 111,0 мин.

Ответ: 111,0.

Ответ: 111,0

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Ёлочки	Кленовое	Сосенки	Жуки
Молоко (1 л)	47	36	45	40
Хлеб (1 батон)	31	28	32	25
Сыр «Российский» (1 кг)	274	265	264	275
Говядина (1 кг)	297	292	297	301
Картофель (1 кг)	31	17	29	17

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Ёлочки, селе Кленовое, деревне Сосенки и деревне Жуки. Володя с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Ёлочки: 2·47=94 + 3·31=93 + 2·297=594 + 4·31=124 + 1·274=274 = 1 179

Кленовое: 2·36=72 + 3·28=84 + 2·292=584 + 4·17=68 + 1·265=265 = 1 073

Сосенки: 2·45=90 + 3·32=96 + 2·297=594 + 4·29=116 + 1·264=264 = 1 160

Жуки: 2·40=80 + 3·25=75 + 2·301=602 + 4·17=68 + 1·275=275 = 1 100

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Кленовое": 1 073 руб.

Ответ: 1 073.

Ответ: 1073

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$2,5 + 0,375 + 0,07$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $2,5 + 0,375 + 0,07$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(2,5) + 0,375 = 2,875$.

Шаг 2: $(2,875) + 0,07 = 2,945$.

Ответ: $2,945$.

Ответ: 2,945

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} > 0$

-a < 3

-a < 4

-a > 4

Решение

По чертежу видно, что -4 < a < -3.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

2) -a < 3 ⇔ a > -3 — неверно.

3) -a < 4 ⇔ a > -4 — верно.

4) -a > 4 ⇔ a < -4 — неверно.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$4\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{18}$$

Решение

Вычислим выражение: 4√6 · 4√3 · √18.

Перемножим коэффициенты: 4 · 4 = 16.

Подкоренные выражения дают: √6 · √3 · √18 = √(6·3·18) = √(324) = 18.

Тогда всё выражение равно 16 · 18 = 288.

Ответ: 288.

Ответ: 288

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 12x + 36 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² - 12x + 36 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -12, c = 36.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -12² - 4·1·36 = 0.

Так как D = 0, уравнение имеет один корень.

x = 12 / 2 = 6

Ответ: 6

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Событие $B$ наступает по двум несовместным ветвям: через $A$ и через $\overline{A}$.

$$P(B)=P(A)\\cdot P(B|A)+P(\\overline{A})\\cdot P(B|\\overline{A})=0.3\\cdot0.625+0.7\\cdot0.3=0,3975$.$

Ответ: 0,3975

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) y = -0.5x + 6

Б) y = -0.5/x

В) y = 1x² + 4x - 3

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -35 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Подставим t_C = -35 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(-35) + 32 = -31.

Ответ: -31.

Ответ: -31

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 8)(x - 5) ≤ 0

Решение

Нули выражения: x = -8 и x = 5. На числовой прямой отмечаем точки -8 и 5 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 8)(x - 5) <= 0 получаем решение [-8;5]. Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 16, d = 2, n = 11.

Сначала найдём последний ряд: a11 = 16 + (11 - 1)·2 = 36.

Сумма первых 11 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 11·(16 + 36)/2 = 286.

Ответ: 286.

Ответ: 286

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 153°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Решение

Внешний угол при вершине C смежный с внутренним углом C.

Поэтому он равен 180° - 153° = 27°.

Ответ: 27.

Ответ: 27

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 45°, AB = 8√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение

По теореме синусов AB = 2R·sin C.

Следовательно, R = AB / (2 sin 45°).

Подстановка даёт R = 8.

Ответ: 8.

Ответ: 8

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Площадь параллелограмма равна 48, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.

Решение

Высоты к сторонам a и b находятся из формул S = a·h₁ и S = b·h₂.

h₁ = 48 / 8 = 6, h₂ = 48 / 16 = 3.

Требуемая высота равна 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 12 и 6.

Большая диагональ равна 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Вертикальные углы равны.

Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.

Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно.

2) Неверно: такие прямые параллельны между собой.

3) Неверно: они делят прямоугольник на четыре треугольника равной площади, но не обязательно равных как фигуры.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $13a-43b+73$, если $\dfrac{5a-2b+8}{2a-5b+8}=9$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $13a-43b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $5a-2b+8 = 9(2a-5b+8)$.

Шаг 2. Раскрываем: $5a-2b+8 = 18a-45b+72$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 13a-43b+64$, откуда $13a-43b = -64$.

Шаг 4. Вычисляем: $13a-43b+73 = -64+73 = 9$.

Ответ: 9.

Правильный ответ: 9

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты, смеси и сплавы

Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.

Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.

Шаг 2. При полном смешивании 26 кг получается раствор с концентрацией 55%:

10·x + 16·y = 26·0,55 = 14,3 ...(1).

Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 61%:

(x + y)/2 = 0,61 ⟹ x + y = 1,22 ...(2).

Шаг 4. Из (2): y = 1,22 − x. Подставляем в (1):

10·x + 16·(1,22 − x) = 14,3

10x + 19,52 − 16x = 14,3

−6x = −5,22 ⟹ x = 0,87.

Шаг 5. Масса кислоты в 1-м сосуде: 10·0,87 = 8,7 кг.

Ответ: 8,7.

Правильный ответ: 8,7

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+6,25)((x+1))}{-1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+6,25,\ x\ne -1 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-1 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-5; 5; 7,25 $.

Ответ: $ -5; 5; 7,25 $.

Правильный ответ: -5; 5; 7,25

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 9, AC = 36.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.

Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.

Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 9 · 36 = 324.

Шаг 3. AB = √324 = 18.

Ответ: 18.

Правильный ответ: 18

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка на средней линии равноудалена от обоих оснований.

Шаг 1. Средняя линия параллельна основаниям и находится на расстоянии h/2 от каждого, где h — высота трапеции.

Шаг 2. S(BFC) = BC·(h/2)/2 = BC·h/4.

S(AFD) = AD·(h/2)/2 = AD·h/4.

Шаг 3. S(BFC) + S(AFD) = (AD+BC)·h/4 = S(трапеции)/2. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 12 и 45 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √15/4.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.

Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.

Степень точки A: AT² = AM · AN = 12 · 45 = 540.

AT = √540.

Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.

sin∠TAM = MT/AT = r/AT.

Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:

MN = 33 (расстояние между M и N на прямой AC).

Через cos∠BAC = √$\frac{15}{4}$ находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...

Вычисление даёт r = 24.

Ответ: 24.

Правильный ответ: 24

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.