Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 16.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 205/60 R16.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 195.
Ответ: 195
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 225/45 R17?
Решение
В маркировке 225/45 R17 ширина шины равна 225 мм, а высота боковины составляет 45% от ширины. H = 225 · 45 / 100 = 101.25 мм. Ответ: 101.25.
Ответ: 101.25
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/40 R18?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/60 R16 и нового колеса 225/40 R18. Ответ: 15.2.
Ответ: 15.2
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 205/60 R16 получаем диаметр 652.4 мм. Ответ: 652.4.
Ответ: 652.4
5Задание 51 балл
На сколько процентов уменьшится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/40 R18? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/60 R16 и колеса 225/40 R18, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.3.
Ответ: 2.3
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,08 + \frac{3}{4} : \frac{5}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,08 + \frac{3}{4} : \frac{5}{4}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{3}{4}) : \frac{5}{4} = 0,6\).
Шаг 2: \((0,08) + 0,6 = 0,68\).
Получили результат \(0,68\).
Ответ: \(0,68\).
Ответ: 0,68
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{1}{a} < 0\)
2
2 - a > 0
3
-a > -1
4
a - 2 > 0
Решение
По чертежу видно, что 1 < a < 2.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
2) 2 - a > 0 ⇔ a < 2 — верно.
3) -a > -1 ⇔ a < 1 — неверно.
4) a - 2 > 0 ⇔ a > 2 — неверно.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(2\sqrt{5})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (2√5)².
Используем свойство степени произведения: (2√5)² = 2² · (√5)².
Получаем 4 · 5 = 20.
Ответ: 20.
Ответ: 20
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Решите уравнение: 6x + 8 = 14
Решение
Решим уравнение: 6x + 8 = 14
Перенесём 8 в правую часть:
6x = 14 - 8
6x = 6
Разделим обе части на 6:
x = 6 / 6
x = 1
Ответ: 1
Ответ: 1
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Событие $B$ наступает по двум несовместным ветвям: через $A$ и через $\overline{A}$.
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) y = 1/x
Б) y = 1.6666666666666667x - 1
В) y = -1x² + 2x + 3
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.
Ответ: 231
12Расчёты по формулам1 балл
В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 12-минутной поездки.
Решение
Подставим t = 12 в формулу C = 150 + 11(t − 5).
C = 150 + 11·(12 − 5) = 227.
Ответ: 227.
Ответ: 227
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
-4x + 5 ≤ -2x - 9
1
[7;+∞)
2
(-∞;0]
3
(-∞;2]
4
(-∞;-7]
Решение
Решим неравенство: -4x + 5 <= -2x - 9.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -2x >= -14.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -2: x >= 7.
Значит, x больше или равно 7.
Этому соответствует промежуток [7;+∞).
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 19 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?
Сторона треугольника равна 29, а высота, проведённая к этой стороне, равна 22. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
S = \(\frac{1}{2}\) · 29 · 22 = 638/2 = 319.
Ответ: 319.
Ответ: 319
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 34√2. Найдите длину стороны этого квадрата.
Решение
Для квадрата R = a√2 / 2.
Значит, a = R·√2 = 34√2 · √2 = 68.
Ответ: 68.
Ответ: 68
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание, если высота равна 5, меньшее основание равно 6, а угол при основании равен 45°.
Решение
При угле 45° каждый из двух боковых прямоугольных треугольников имеет горизонтальный катет, равный высоте.
Прибавляем по 5 с каждой стороны к меньшему основанию: 6 + 2·5 = 16.
Ответ: 16.
Ответ: 16
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 3 и 1.
Искомое отношение площадей равно (3 / 1)² = 9.
Ответ: 9.
Ответ: 9
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
2
Все углы ромба равны.
3
Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Идея: замена \(t=\frac{1}{x}\) сводит уравнение к квадратному.
Шаг 1. После замены \(\frac{1}{x^2}=t^2\), \(\frac{1}{x}=t\):
\(t^2-3t-4=0\).
Шаг 2. Разложим на множители: \((t-4)(t+1)=0\).
Корни: \(t_1=4\), \(t_2=-1\).
Шаг 3. Обратная замена \(x=\frac{1}{t}\):
Если \(t=4\): \(x=\dfrac{1}{4}\).
Если \(t=-1\): \(x=-1\).
Шаг 4. ОДЗ: \(x\ne0\) — оба корня подходят.
Ответ: \(-1;\quad \dfrac{1}{4}\).
Правильный ответ: -1;1/4
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 396 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 396 кг свежих фруктов:
396 · 14/100 = 55,44 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 23% воды, значит сухого вещества 77%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,77·x = 55,44.
x = 55,44 / 0,77 = 72 кг.
Ответ: 72.
Правильный ответ: 72
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 4|x| + 9\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 4x + 9.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 4x + 9.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 9. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 9.
Проверка: при m = 9 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.
Ответ: 9.
Правильный ответ: 9
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 40, CD = 42, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 21.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 21, полухорда = AB/2 = 20.
R² = 21² + 20² = 441 + 400 = 841. R = 29.
Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 21.
d² = R² − 21² = 841 − 441 = 400. d = 20.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка N — середина стороны CD. Докажите, что BN — биссектриса угла ABC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: доказать равнобедренность треугольника внутри параллелограмма.
Шаг 1. CD = 2·BC (по условию), N — середина CD.
Значит CD/2 = BC/2 ... нет: CD = CD, CD/2 = BC.
Шаг 2. В параллелограмме BC ∥ смежной стороне, поэтому в треугольнике,
образованном BN и соседними сторонами, два угла при основании равны.
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 15 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.
Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 7 (радиус вписанной окружности).
Шаг 2. dist(O, AD) = 15. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.
dist(O, AB) = r = 7 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).
Шаг 3. OA = 25 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:
