Загрузка заданий...

Вариант 528 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 16.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,6 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	спальня	кухня
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 8, кладовая — 4, спальня — 3, кухня — 5.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, кухня.

Следовательно, ответ: 8435.

Ответ: 8435

2 Задание 2 1 балл

Плитка для пола размером 30 см на 60 см продаётся в упаковках по 5 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в гостиной?

Решение

По плану площадь покрытия гостиной составляет 154 клетки.

Площадь одной клетки: 0,6 · 0,6 = 0,36 кв. м, поэтому площадь равна 154 · 0,36 = 55,44 кв. м.

Площадь одной плитки: 0,3 · 0,6 = 0,18 кв. м.

Нужно элементов: 55,44 / 0,18 = 308.

В одной упаковке 5 штук, значит понадобится 62 упаковки.

Ответ: 62.

Ответ: 62

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь санузла. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 36 клеток.

Площадь одной клетки: 0,2 · 0,2 = 0,04 кв. м.

Значит, площадь равна 36 · 0,04 = 1,44 кв. м.

Ответ: 1,44.

Ответ: 1,44

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь коридора больше площади кладовой?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 144 клетки, второе: 24 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 24) / 24) · 100% = 500%.

Ответ: 500.

Ответ: 500

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «800»	900 руб. за 800 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб
План «1000»	1 050 руб. за 1000 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб
План «Безлимитный»	1 100 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 850 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 850 Мб?

Решение

Считаем стоимость интернета при трафике 850 Мб:

План «800»: 900 + 50 · 2 = 1 000 руб.

План «1000»: 1 050 руб.

План «Безлимитный»: 1 100 руб.

Самым дешёвым оказывается План «800»: 1 000 руб.

Ответ: 1 000.

Ответ: 1000

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$1,5 \cdot 0,03$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $1,5 \cdot 0,03$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(1,5) \cdot 0,03 = 0,045$.

Ответ: $0,045$.

Ответ: 0,045

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел расположено между числами -1,8 и $2\sqrt{5}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-4

-2,75

$-\frac{59}{25}$

$-\frac{1}{2}$

Решение

Сравним числа -1,8 и $2\sqrt{5}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 ($-\frac{1}{2}$) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$2^{2} \cdot (2^2)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 2^(2) · (2^2)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (2^2)^2 = 2^4.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 2^2 · 2^4 = 2^6.

Получаем 2^6 = 64.

Ответ: 64.

Ответ: 64

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-6}{x + 3} = -3$$

Решение

Решим уравнение: -6/(x + 3) = -3

Область допустимых значений: x != -3.

Умножим обе части уравнения на x + 3:

-6 = -3(x + 3)

Раскроем скобки:

-6 = -3x - 9

Перенесём число в левую часть:

3 = -3x

x = 3 / -3

x = -1

Проверка ОДЗ: x = -1, x != -3, условие выполняется.

Ответ: -1

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 4 чёрных, 7 жёлтых и 9 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Всего равновозможных исходов: 20.

Благоприятных исходов: 7 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{7}{20}$ = 0,35.

Ответ: 0,35.

Ответ: 0,35

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a < 0, c > 0

2) a > 0, c > 0

3) a > 0, c < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,02 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

Решение

Подставим V = 0,02 в формулу F = ρgV.

F = 1000·9,8·0,02 = 196.

Ответ: 196.

Ответ: 196

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-x - 12 ≤ 3x - 4

[-2;+∞)

(-∞;-2]

[0;+∞)

[-4;+∞)

Решение

Решим неравенство: -x - 12 <= 3x - 4.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -4x >= 8.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -4: x >= -2.

Значит, x больше или равно -2.

Этому соответствует промежуток [-2;+∞).

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 6 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 150 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 6, q = 3.

За 150 минут пройдёт 5 промежутков по 30 минут.

Получаем массу 6·3^5 = 1458 мг.

Ответ: 1458.

Ответ: 1458

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = $\frac{1}{2}$ · 4 · 9 = $\frac{36}{2}$ = 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен a√3 / 6.

r = (14√3 · √3) / 6 = $\frac{42}{6}$ = 7.

Ответ: 7.

Ответ: 7

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 80°. Диагональ AC образует со стороной AB угол 25°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Решение

Угол A трапеции равен 180° - 80° = 100°.

Диагональ делит угол A на два: 25° и искомый.

Искомый угол равен 100° - 25° = 75°.

Ответ: 75.

Ответ: 75

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок AM длиннее отрезка BM?

Решение

Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.

M делит AB: вектор AM=(3,6)=$\frac{3}{4}$·AB=(4,8). AM=3·BM.

Ответ: 3.

Ответ: 3

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Верно.

3) Неверно.

Ответ: 12.

Ответ: 12

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}5x^2+y=12,\\9x^2-y=2.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: складываем уравнения.

Шаг 1. Складываем:

$(5x^2+y)+(9x^2-y)=12+2\Rightarrow 14x^2=14$.

Шаг 2. $x^2=1\Rightarrow x=\pm1$.

Шаг 3. Находим $y$:

$y=12-5x^2=12-5=7$.

Ответ: $(-1;\,7);\ (1;\,7)$.

Правильный ответ: (-1;7);(1;7)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 82% воды, а высушенные — 29%. Сколько сухих фруктов получится из 284 кг свежих фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Свежие фрукты содержат 82% воды, значит сухого вещества 18%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 284 кг свежих фруктов:

284 · 18/100 = 51,12 кг.

Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 29% воды, значит сухого вещества 71%.

Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,71·x = 51,12.

x = 51,12 / 0,71 = 72 кг.

Ответ: 72.

Правильный ответ: 72

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 8|x| + 3\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 8x + 3.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 8x + 3.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 3. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 3.

Проверка: при m = 3 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.

Ответ: 3.

Правильный ответ: 3

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 120°, а CD = 34.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.

Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.

h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin45°.

Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:

h = CD · sin(∠BCD) = 34 · sin120°.

Шаг 3. Из равенства: AB · sin45° = 34 · sin120°.

AB = 34 · sin120°/sin45° (здесь sin120°/sin45° = √$\frac{6}{2}$).

AB = 17√6.

Ответ: 17√6.

Правильный ответ: 17√6

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне CD. Докажите, что точка K равноудалена от прямых AB, BC и AD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Шаг 1. Точка K лежит на биссектрисе угла A.

⟹ расстояние от K до обеих сторон угла A одинаково.

Шаг 2. Точка K лежит на биссектрисе угла B.

⟹ расстояние от K до обеих сторон угла B одинаково.

Шаг 3. Объединяя: расстояние от K до каждой из прямых AB, BC и AD одинаково. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5 : 4, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 18.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A делит высоту BH в отношении p:q → находим sin A → по теореме синусов R.

Шаг 1. Пусть BH — высота из B, биссектриса из A пересекает BH в точке F.

BF : FH = 5 : 4 (дано).

Шаг 2. Обозначим ∠ABH = α, ∠BAH = 90° − α.

Биссектриса делит ∠A пополам: ∠BAF = ∠A/2.

В прямоугольном △ABH: tg(∠BAH) = BH/AH.

Шаг 3. Из отношения BF:FH = 5:4:

tg(∠BAF) = BF/AF, tg(∠FAH) = FH/AF.

BF/FH = $\frac{5}{4}$ ⟹ tg(∠BAF)/tg(∠FAH) = $\frac{5}{4}$.

Так как ∠BAF = ∠FAH (биссектриса), получаем противоречие — значит используем формулу:

sin A = 2·4/(5+4) · ... = BC/(2R).

Шаг 4. BC = 2R·sin A ⟹ R = BC/(2·sin A) = 18/(2·sin A) = 15.

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.