Загрузка заданий...

Вариант 530 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 16.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.

Масса (кг)	15	40	48
Номер печи

Решение

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.

Ответ: 312

2 Задание 2 1 балл

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение

Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.

Ответ: 15.4

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

Решение

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.

Ответ: 2000

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.

Ответ: 16200

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

По рисунку половина ширины кожуха равна 25 см, высота до точки арки у боковой стенки равна 60 см. Радиус: R = √(25² + 60²) = √4225 = 65 см. Ответ: 65.

Ответ: 65

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$5 \cdot 0,25 \cdot \frac{1}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $5 \cdot 0,25 \cdot \frac{1}{5}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(5) \cdot 0,25 = 1,25$.

Шаг 2: $(1,25) \cdot \frac{1}{5} = 0,25$.

Получили результат $0,25$.

Ответ: $0,25$.

Ответ: 0,25

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел -3,68, -1,23, $\frac{\sqrt{27}}{2}$, $\frac{67}{16}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

-3,68

-1,23

$\frac{\sqrt{27}}{2}$

$\frac{67}{16}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 4 и 5.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) -3,68 ≈ -3,68

2) -1,23 ≈ -1,23

3) $\frac{\sqrt{27}}{2}$ ≈ 2,5981

4) $\frac{67}{16}$ ≈ 4,1875

Точке A соответствует вариант 4.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$7^{-2} \cdot (7^2)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 7^(-2) · (7^2)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (7^2)^2 = 7^4.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 7^-2 · 7^4 = 7^2.

Получаем 7^2 = 49.

Ответ: 49.

Ответ: 49

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 8x + 16 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + 8x + 16 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 8, c = 16.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 8² - 4·1·16 = 0.

Так как D = 0, уравнение имеет один корень.

x = -8 / 2 = -4

Ответ: -4

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события B.

Решение

Всего элементарных исходов: 5. Благоприятных для события B: 2.

$P=2/5=0,4$.

Ответ: 0,4

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

А) y = -0,5x + 3

Б) y = -3x + 4

В) y = -2x + 4

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,4 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

Решение

Подставим V = 0,4 в формулу F = ρgV.

F = 1000·9,8·0,4 = 3 920.

Ответ: 3 920.

Ответ: 3 920

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} x − 4 \geqslant -4,2 \\ x − 0,1 \leqslant -0,8 \end{cases}$$

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 400 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 5 см?

Решение

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 400, q = $\frac{1}{3}$.

Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 5 см, а после 5-го уже меньше.

Ответ: 5.

Ответ: 5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 10, AC = 7. Найдите tg B.

Решение

В прямоугольном треугольнике tg острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Для угла B противолежащий катет — AC, прилежащий — BC.

tg B = AC / BC = $\frac{7}{10}$ = 0,7.

Ответ: 0,7.

Ответ: 0,7

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 4, BC = 12, CD = 14. Найдите AD.

Решение

В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.

То есть AB + CD = BC + AD.

AD = AB + CD - BC = 4 + 14 - 12 = 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Основания трапеции равны 8 и 11, а высота равна 9. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

m = (8 + 11) / 2 = 9,5.

Ответ: 9,5.

Ответ: 9,5

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

По клеткам диагонали равны 10 и 4.

S = 10 · 4 / 2 = 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

Диагонали ромба равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно: у тупоугольного треугольника центр описанной окружности лежит вне треугольника.

2) Верно: сумма углов любого треугольника равна 180°.

3) Неверно: у ромба диагонали не обязаны быть равными.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-8)^2<\sqrt{3}(x-8)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-8)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-8)^2-\sqrt{3}(x-8)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-8)\bigl[(x-8)-\sqrt{3}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=8$ и $x=8+\sqrt{3}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(8;\; 8+\sqrt{3})$.

Правильный ответ: (8;8+√3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два автомобиля одновременно отправляются в 990-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время движения, используя формулу t = S/v.

Шаг 1. Пусть скорость второго автомобиля равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 20) км/ч.

Шаг 2. Первый прибывает на 2 ч раньше, значит его время меньше:

990/x − 990/(x+20) = 2.

Шаг 3. Умножаем обе части на x·(x+20):

990·(x+20) − 990·x = 2·x·(x+20).

Шаг 4. Левая часть упрощается до 990·20 = 19800. Получаем:

2x² + 40x − 19800 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 40² + 4·2·19800 = 160000, √D = 400.

x = (−40 + 400) / (2·2) = 90 (берём положительный корень).

Шаг 6. Скорость первого: 90 + 20 = 110 км/ч.

Ответ: 110.

Правильный ответ: 110

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}3x-3,& x<2,\\-3x+8{,}5,& 2\le x\le 3,\\3{,}5x-11,& x>3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {-0,5}∪(2,5;3).

Ответ: {-0,5}∪(2,5;3).

Правильный ответ: {-0,5}∪(2,5;3)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: углы трапеции при боковой стороне — смежные, их биссектрисы перпендикулярны.

Шаг 1. В трапеции AD ∥ BC, значит ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы).

Шаг 2. Биссектрисы делят углы пополам: ∠FAB + ∠FBA = 90°.

Значит в △AFB угол при F равен 90° — треугольник AFB прямоугольный.

Шаг 3. По теореме Пифагора: AB = √(AF² + BF²) = √(32² + 24²) = √1600 = 40.

Ответ: 40.

Правильный ответ: 40

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении p:q. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как p:q.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы O₁A и O₂B к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ O₁A ∥ O₂B.

Шаг 2. В треугольниках TO₁A и TO₂B (T — точка на O₁O₂):

∠ATO₁ = ∠BTO₂ (вертикальные), O₁A ∥ O₂B ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TO₁/TO₂ = p:q.

Шаг 3. TO₁/TO₂ = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как p:q. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 41 : 40, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 18.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A делит высоту BH в отношении p:q → находим sin A → по теореме синусов R.

Шаг 1. Пусть BH — высота из B, биссектриса из A пересекает BH в точке F.

BF : FH = 41 : 40 (дано).

Шаг 2. Обозначим ∠ABH = α, ∠BAH = 90° − α.

Биссектриса делит ∠A пополам: ∠BAF = ∠A/2.

В прямоугольном △ABH: tg(∠BAH) = BH/AH.

Шаг 3. Из отношения BF:FH = 41:40:

tg(∠BAF) = BF/AF, tg(∠FAH) = FH/AF.

BF/FH = $\frac{41}{40}$ ⟹ tg(∠BAF)/tg(∠FAH) = $\frac{41}{40}$.

Так как ∠BAF = ∠FAH (биссектриса), получаем противоречие — значит используем формулу:

sin A = 2·40/(41+40) · ... = BC/(2R).

Шаг 4. BC = 2R·sin A ⟹ R = BC/(2·sin A) = 18/(2·sin A) = 41.

Ответ: 41.

Правильный ответ: 41

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.