Загрузка заданий...

Вариант 549 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 16.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 215/65 R16.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 235.

Ответ: 235

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 275/70 R16?

Решение

В маркировке 275/70 R16 ширина шины равна 275 мм, а высота боковины составляет 70% от ширины. H = 275 · 70 / 100 = 192.5 мм. Ответ: 192.5.

Ответ: 192.5

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 235/50 R18?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/65 R16 и нового колеса 235/50 R18. Ответ: 6.3.

Ответ: 6.3

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 215/65 R16 получаем диаметр 685.9 мм. Ответ: 685.9.

Ответ: 685.9

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/65 R16? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/65 R16 и колеса 225/65 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.9.

Ответ: 1.9

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{1} + \frac{2}{1} + \frac{6}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{1} + \frac{2}{1} + \frac{6}{5}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{1}) + \frac{2}{1} = \frac{5}{1}$.

Шаг 2: $(\frac{5}{1}) + \frac{6}{5} = \frac{31}{5}$.

Получили дробь $\frac{31}{5}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $6,2$.

Ответ: $6,2$.

Ответ: 6,2

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a > -4

$\frac{1}{a} > 0$

a + 3 > 0

-4 - a > 0

Решение

По чертежу видно, что -4 < a < -3.

Проверим варианты ответа:

1) a > -4 ⇔ a > -4 — верно.

2) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

3) a + 3 > 0 ⇔ a > -3 — неверно.

4) -4 - a > 0 ⇔ a < -4 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{6} - 5)(\sqrt{6} + 5)$$

Решение

Вычислим выражение: (√6 - 5)(√6 + 5).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√6)² - 5² = 6 - 25 = -19.

Ответ: -19.

Ответ: -19

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + x - 30 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + x - 30 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 1, c = -30.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 1² - 4·1·-30 = 121.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-1 - √121) / 2 = -6

x₂ = (-1 + √121) / 2 = 5

Ответ: -6;5

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 14 чёрных, 2 жёлтых и 24 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 2 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{2}{40}$ = 0,05.

Ответ: 0,05.

Ответ: 0,05

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a < 0, c > 0

2) a > 0, c < 0

3) a > 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 4,5 Вт, а сила тока равна 1,5 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 4,5/(1,5²) = 2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² - 49 > 0

(-7;7)

(-∞;-7] ∪ [7;+∞)

[-7;7]

(-∞;-7) ∪ (7;+∞)

Решение

Решаем x² - 49 > 0. Нули: x = -7 и x = 7. Верное решение: (-∞;-7) ∪ (7;+∞). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 16 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 120 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 16, q = 3.

За 120 минут пройдёт 4 промежутков по 30 минут.

Получаем массу 16·3^4 = 1296 мг.

Ответ: 1296.

Ответ: 1296

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = $\frac{1}{2}$ · 12 · 5 = $\frac{60}{2}$ = 30.

Ответ: 30.

Ответ: 30

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 7√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение

Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.

Значит, a = 3R / √3 = 3 · 7√3 / √3 = 21.

Ответ: 21.

Ответ: 21

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ AC ромба ABCD равна 8, а tg ∠BCA = 0,75. Найдите площадь ромба.

Решение

В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.

Поэтому tg ∠BCA = BO / CO = BD / AC.

Следовательно, BD = AC · tg ∠BCA = 8 · 0,75 = 6.

S = AC · BD / 2 = 8 · 6 / 2 = 24.

Ответ: 24.

Ответ: 24

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.

Решение

A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.

На уровне y=5: t=(8−5)/(8−2)=$\frac{1}{2}$. x_A=1+$\frac{1}{2}$·3=2,5, x_B=4+$\frac{1}{2}$·3=5,5. AB=3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Все углы ромба равны.

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $5a-13b+35$, если $\dfrac{2a-b+4}{a-2b+4}=7$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $5a-13b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $2a-b+4 = 7(a-2b+4)$.

Шаг 2. Раскрываем: $2a-b+4 = 7a-14b+28$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 5a-13b+24$, откуда $5a-13b = -24$.

Шаг 4. Вычисляем: $5a-13b+35 = -24+35 = 11$.

Ответ: 11.

Правильный ответ: 11

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 280 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 15 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.

Шаг 1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна x км/ч.

По течению: x + 4. Против течения: x − 4.

Шаг 2. Составляем уравнение:

280/(x+4) + 15 + 280/(x−4) = 39.

Шаг 3. Переносим стоянку: 280/(x+4) + 280/(x−4) = 24.

Шаг 4. Умножаем на (x+4)(x−4) = x²−16:

280(x−4) + 280(x+4) = 24(x²−16).

Шаг 5. Левая часть: 2·280·x = 560x. Квадратное уравнение.

Шаг 6. Решение (положительный корень): x = 24.

Шаг 7. Проверка: 10 + 15 + 14 = 39. ✓

Ответ: 24.

Правильный ответ: 24

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 6|x| + 3\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 6x + 3.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 6x + 3.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 3. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 3.

Проверка: при m = 3 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: 3.

Правильный ответ: 3

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.

Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(18² + 24²) = √900 = 30.

Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 18·$\frac{24}{2}$ = 216.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 30·h/2.

Шаг 4. Приравниваем: 30·h/2 = 216 ⟹ h = 18·$\frac{24}{30}$ = 14,4.

Ответ: 14,4.

Правильный ответ: 14,4

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке N, лежащей на стороне CD. Докажите, что N — середина CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы углов A и B перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.

Шаг 1. В параллелограмме ∠A + ∠B = 180° (смежные).

Биссектрисы делят углы пополам: ∠A/2 + ∠B/2 = 90°.

Значит в △N (треугольник при пересечении биссектрис) угол при N равен 90°.

Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла A.

Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),

значит расстояние от вершины до N равно половине смежной стороны.

Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем N — середина CD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 120 ⟹ a+b = 60.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·540/60 = 18.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=60 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=18:

a = 6, b = 54.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 18·$\frac{6}{60}$ = 1,8.

Ответ: 1,8.

Правильный ответ: 1,8

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.