Загрузка заданий...

Вариант 564 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 23.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 265/60 R18.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 275.

Ответ: 275

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 285/50 R20?

Решение

В маркировке 285/50 R20 ширина шины равна 285 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 285 · 50 / 100 = 142.5 мм. Ответ: 142.5.

Ответ: 142.5

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 285/50 R20?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 265/60 R18 и нового колеса 285/50 R20. Ответ: 17.8.

Ответ: 17.8

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 265/60 R18 получаем диаметр 775.2 мм. Ответ: 775.2.

Ответ: 775.2

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 285/50 R20? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 265/60 R18 и колеса 285/50 R20, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.3.

Ответ: 2.3

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$4 \cdot 1$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $4 \cdot 1$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(4) \cdot 1 = 4$.

Ответ: $4$.

Ответ: 4

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a + 4 < 0

-a > 5

$\frac{1}{a} > 0$

-a < 4

Решение

По чертежу видно, что -5 < a < -4.

Проверим варианты ответа:

1) a + 4 < 0 ⇔ a < -4 — верно.

2) -a > 5 ⇔ a < -5 — неверно.

3) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

4) -a < 4 ⇔ a > -4 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$4^{-1} \cdot (4^2)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 4^(-1) · (4^2)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (4^2)^2 = 4^4.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 4^-1 · 4^4 = 4^3.

Получаем 4^3 = 64.

Ответ: 64.

Ответ: 64

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-6}{x - 5} = 3$$

Решение

Решим уравнение: -6/(x - 5) = 3

Область допустимых значений: x != 5.

Умножим обе части уравнения на x - 5:

-6 = 3(x - 5)

Раскроем скобки:

-6 = 3x - 15

Перенесём число в левую часть:

9 = 3x

x = 9 / 3

x = 3

Проверка ОДЗ: x = 3, x != 5, условие выполняется.

Ответ: 3

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Событие $B$ наступает по двум несовместным ветвям: через $A$ и через $\overline{A}$.

$$P(B)=P(A)\\cdot P(B|A)+P(\\overline{A})\\cdot P(B|\\overline{A})=0.75\\cdot0.3+0.25\\cdot0.9=0,45$.$

Ответ: 0,45

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a < 0, c > 0

2) a > 0, c < 0

3) a > 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 123.

Ответ: 123

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 18 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Подставим C = 0,0001 и U = 18 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0001·18² / 2 = 0,0162.

Ответ: 0,0162.

Ответ: 0,0162

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² - 25 < 0

[-5;5]

(-5;5)

(-∞;-5) ∪ (5;+∞)

(-∞;-5] ∪ [5;+∞)

Решение

Решаем x² - 25 < 0. Нули: x = -5 и x = 5. Верное решение: (-5;5). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 450 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 5 см?

Решение

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 450, q = $\frac{1}{3}$.

Проверяем последовательно: после 5-го отскока высота ещё не меньше 5 см, а после 6-го уже меньше.

Ответ: 6.

Ответ: 6

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 24 и 25 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

Решение

По теореме Пифагора квадрат неизвестного катета равен разности квадрата гипотенузы и квадрата известного катета.

x² = 25² - 24² = 625 - 576 = 49.

Значит, x = 7.

Ответ: 7.

Ответ: 7

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 4√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение

Сторона квадрата равна диаметру окружности.

a = 2r = 2 · 4√2 = 8√2.

Диагональ квадрата равна a√2.

d = 8√2 · √2 = 16.

Ответ: 16.

Ответ: 16

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов ромба равен 62°. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

Решение

Соседние углы ромба supplementary, их сумма равна 180°.

Искомый угол равен 180° - 62° = 118°.

Ответ: 118.

Ответ: 118

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 6 и 3.

Искомое отношение площадей равно (6 / 3)² = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали параллелограмма равны.

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Неверно: не указано, что угол заключён между сторонами.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}x^2+3y^2=31,\\2x^2+6y^2=31x.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: умножим первое уравнение на 2.

Шаг 1. Умножаем первое на 2: $2x^2+6y^2=62$.

Шаг 2. По второму: $2x^2+6y^2=31x$.

Шаг 3. Приравниваем правые части:

$62=31x\Rightarrow x=2$.

Шаг 4. Подставляем $x=2$:

$4+3y^2=31\Rightarrow y^2=9\Rightarrow y=\pm3$.

Ответ: $(2;\,-3);\ (2;\,3)$.

Правильный ответ: (2;-3);(2;3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 23 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.

Шаг 1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна x км/ч.

По течению: x + 5. Против течения: x − 5.

Шаг 2. Составляем уравнение:

80/(x+5) + 23 + 80/(x−5) = 35.

Шаг 3. Переносим стоянку: 80/(x+5) + 80/(x−5) = 12.

Шаг 4. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:

80(x−5) + 80(x+5) = 12(x²−25).

Шаг 5. Левая часть: 2·80·x = 160x. Квадратное уравнение.

Шаг 6. Решение (положительный корень): x = 15.

Шаг 7. Проверка: 4 + 23 + 8 = 35. ✓

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+1)((x-2))}{2-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+1),\ x\ne 2 $.

После преобразования получаем параболу $ y=-(x^2+a) $ с выколотой точкой при $ x=2 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-2,5; -2; 2 $.

Ответ: $ -2,5; -2; 2 $.

Правильный ответ: -2,5; -2; 2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 11, CK = 12.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK.

Шаг 1. AB ∥ CD, значит биссектриса AK образует с AB угол ∠BAK = ∠A/2.

Угол ∠ABK = ∠A/2 (AB ∥ CD, накрест лежащие).

Значит △ABK равнобедренный: BK = AB.

Шаг 2. AB = BK = 11.

Шаг 3. BC = BK + CK = 11 + 12 = 23.

Шаг 4. Периметр = 2·(AB + BC) = 2·(11 + 23) = 68.

Ответ: 68.

Правильный ответ: 68

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках P и Q пересекаются в точках K и L, причём точки P и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что прямые PQ и KL перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. PK = PL (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка P равноудалена от K и L

⟹ P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку KL.

Шаг 2. QK = QL (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка Q тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая PQ совпадает с серединным перпендикуляром к KL.

Следовательно, PQ ⟂ KL. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 18 и 22 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √11/6.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.

Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.

Степень точки A: AT² = AM · AN = 18 · 22 = 396.

AT = √396.

Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.

sin∠TAM = MT/AT = r/AT.

Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:

MN = 4 (расстояние между M и N на прямой AC).

Через cos∠BAC = √$\frac{11}{6}$ находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...

Вычисление даёт r = 10,8.

Ответ: 10,8.

Правильный ответ: 10,8

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.