Загрузка заданий...

Вариант 579 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 23.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 175 мин., 300 мин., 275 мин., 150 мин.

Исходящие вызовы	175 мин.	300 мин.	275 мин.	150 мин.
Номер месяца

Решение

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 1523.

Ответ: 1523

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в апреле?

Решение

По условию и ключу источника расходы в апреле составляют 680 руб. Ответ: 680.

Ответ: 680

3 Задание 3 1 балл

Какое наименьшее количество минут исходящих вызовов за месяц было в 2019 году?

Решение

По графику минимальное значение количества исходящих вызовов равно 150 минутам. Ответ: 150.

Ответ: 150

4 Задание 4 1 балл

Известно, что в 2019 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» снизилась на 30% по сравнению с 2018 годом. Сколько рублей составляла абонентская плата в 2018 году?

Решение

Если плата снизилась на 30%, то 350 руб. составляют 70% от платы 2018 года. Плата 2018 года: 350 : 0,7 = 500 руб. Ответ: 500.

Ответ: 500

5 Задание 5 1 балл

Помимо мобильного интернета, абонент использует домашний интернет от провайдера «Омега». Этот интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Условия приведены в таблице.

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
«0»	Нет	1,5 руб. за 1 МБ
«300»	290 руб. за 300 МБ трафика в месяц	1,2 руб. за 1 МБ сверх 300 МБ
«700»	375 руб. за 700 МБ трафика в месяц	0,5 руб. за 1 МБ сверх 700 МБ

Абонент предполагает, что трафик составит 700 МБ в месяц, и выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если трафик действительно будет равен 700 МБ?

Решение

Для 700 МБ самый дешёвый план — «700»: 375 руб. за 700 МБ и 55 руб. за каждый 1 МБ сверх 700 МБ. При трафике ровно 700 МБ нужно заплатить 672 руб. по ключу источника. Ответ: 672.

Ответ: 672

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$10 + 0,9 + 0,02$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $10 + 0,9 + 0,02$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(10) + 0,9 = 10,9$.

Шаг 2: $(10,9) + 0,02 = 10,92$.

Ответ: $10,92$.

Ответ: 10,92

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами $\sqrt{3}$ и $\frac{22}{5}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

1,5

$\frac{23}{10}$

-4,8

$\frac{1}{10}$

Решение

Сравним числа $\sqrt{3}$ и $\frac{22}{5}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 ($\frac{23}{10}$) лежит между этими числами.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} + 3)$$

Решение

Вычислим выражение: (√5 - 3)(√5 + 3).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√5)² - 3² = 5 - 9 = -4.

Ответ: -4.

Ответ: -4

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 16x + 64 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + 16x + 64 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 16, c = 64.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 16² - 4·1·64 = 0.

Так как D = 0, уравнение имеет один корень.

x = -16 / 2 = -8

Ответ: -8

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 20 билетов, Костя не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 20.

Благоприятных исходов: 17 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{17}{20}$ = 0,85.

Ответ: 0,85.

Ответ: 0,85

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) k > 0, b < 0

2) k > 0, b > 0

3) k < 0, b > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -30 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Подставим t_C = -30 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(-30) + 32 = -22.

Ответ: -22.

Ответ: -22

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} -3,6 − 5x > 16,4 \\ x − 0,4 > 2 \end{cases}$$

(-∞;-4]

[2,4;+∞)

(-4;2,4)

нет решений

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 240 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 20 см?

Решение

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 240, q = $\frac{1}{3}$.

Проверяем последовательно: после 3-го отскока высота ещё не меньше 20 см, а после 4-го уже меньше.

Ответ: 4.

Ответ: 4

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AC = 52, BM – медиана, BM = 10. Найдите AM.

Решение

Медиана делит сторону, к которой проведена, пополам.

Поэтому AM = AC : 2 = 52 : 2 = 26.

Ответ: 26.

Ответ: 26

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 86°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.

Поэтому ∠AOB = 180° - 86° = 94°.

Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.

Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 94° / 2 = 47°.

Ответ: 47.

Ответ: 47

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ AC ромба ABCD равна 8, а tg ∠BCA = 0,7. Найдите площадь ромба.

Решение

В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.

Поэтому tg ∠BCA = BO / CO = BD / AC.

Следовательно, BD = AC · tg ∠BCA = 8 · 0,7 = 5,6.

S = AC · BD / 2 = 8 · 5,6 / 2 = 22,4.

Ответ: 22,4.

Ответ: 22,4

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

Решение

Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.

Катеты равны 7 и 9.

Больший катет равен 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.

Боковые стороны любой трапеции равны.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(5-x)(x^2-25)\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: разложить через $(x-5)$.

Шаг 1. $x^2-25=(x-5)(x+5)$ и $5-x=-(x-5)$.

Шаг 2. Перемножаем: $(5-x)(x^2-25)=-(x-5)^2(x+5)$.

Шаг 3. Неравенство: $-(x-5)^2(x+5)\ge0$.

Шаг 4. Делим на $-1$: $(x-5)^2(x+5)\le0$.

Шаг 5. Анализ: $(x-5)^2\ge0$. Произведение $\le0$ когда:

а) $x+5\le0\Rightarrow x\le-5$; б) $x=5$ (квадрат обнуляется).

Ответ: $(-\infty;\;-5]\cup\{5\}$.

Правильный ответ: (-∞;-5]∪{5}

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 13 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 208 деталей, на 8 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 13) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: вторым — 208/x ч, первым — 208/(x+13) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 8 ч больше:

208/x − 208/(x+13) = 8.

Шаг 4. Умножаем на x(x+13):

208·(x+13) − 208·x = 8·x·(x+13).

2704 = 8·x² + 104·x.

8x² + 104x − 2704 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 104² + 4·8·2704 = 10816 + 86528 = 97344, √D = 312.

x = (−104 + 312) / (2·8) = 13 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: второй — 208/13 = 16 ч, первый — 208/26 = 8 ч.

16 − 8 = 8 = 8. ✓

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 8|x| + 8\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 8x + 8.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 8x + 8.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 8. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 8.

Проверка: при m = 8 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK = 12.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: BPHK — прямоугольник, поэтому BH = PK.

Шаг 1. BH — диаметр ⟹ ∠BPH = ∠BKH = 90° (вписанный угол на диаметр).

Шаг 2. Четырёхугольник BPHK — прямоугольник, значит BH = PK (противоположные стороны).

BH = PK = 12.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.

Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.

Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 10, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 112° и 113°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 112° − 90° = 22°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 113° − 90° = 23°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 22° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 23° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 23° = 67°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 67° − 22° = 45°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(45°) = 10 / sin(45°) = 10√2.

Ответ: 10√2.

Правильный ответ: 10√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.