Загрузка заданий...

Вариант 591 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 23.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.

Масса (кг)	15	40	48
Номер печи

Решение

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.

Ответ: 312

2 Задание 2 1 балл

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение

Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.

Ответ: 15.4

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

Решение

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.

Ответ: 2000

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.

Ответ: 16200

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

По рисунку половина ширины кожуха равна 25 см, высота до точки арки у боковой стенки равна 60 см. Радиус: R = √(25² + 60²) = √4225 = 65 см. Ответ: 65.

Ответ: 65

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{5}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{6}) \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{10}$.

Получили дробь $\frac{1}{10}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $0,1$.

Ответ: $0,1$.

Ответ: 0,1

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

5 - a < 0

$\frac{1}{a} < 0$

a - 5 < 0

-a > -4

Решение

По чертежу видно, что 4 < a < 5.

Проверим варианты ответа:

1) 5 - a < 0 ⇔ a > 5 — неверно.

2) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

3) a - 5 < 0 ⇔ a < 5 — верно.

4) -a > -4 ⇔ a < 4 — неверно.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{3} - 3)(\sqrt{3} + 3)$$

Решение

Вычислим выражение: (√3 - 3)(√3 + 3).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√3)² - 3² = 3 - 9 = -6.

Ответ: -6.

Ответ: -6

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 7x + 1 = 57

Решение

Решим уравнение: 7x + 1 = 57

Перенесём 1 в правую часть:

7x = 57 - 1

7x = 56

Разделим обе части на 7:

x = 56 / 7

x = 8

Ответ: 8

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 22 чёрных, 10 жёлтых и 8 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 10 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{10}{40}$ = 0,25.

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a > 0, c > 0

2) a < 0, c > 0

3) a > 0, c < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₁, если d₂ = 14, sinα = 0,231, а S = 19,385.

Решение

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₁: d₁ = 2S/(d₂sinα).

d₁ = 2·19,385/(14·0,231) = 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 6)(x - 1) ≤ 0

Решение

Нули выражения: x = -6 и x = 1. На числовой прямой отмечаем точки -6 и 1 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 6)(x - 1) <= 0 получаем решение [-6;1]. Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 16 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 15 мест, а в пятом ряду 17 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение

Ряды образуют арифметическую прогрессию.

Разность прогрессии: d = (17 - 15) / (5 - 3) = 1.

Тогда первый ряд: a₁ = a3 - (3 - 1)·d = 15 - 2·1 = 13.

Последний ряд: a16 = a₁ + (16 - 1)·d = 13 + 15·1 = 28.

Ответ: 28.

Ответ: 28

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 7 и 12. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = $\frac{1}{2}$ · 7 · 12 = $\frac{84}{2}$ = 42.

Ответ: 42.

Ответ: 42

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 6√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение

Для равностороннего треугольника r = a√3 / 6.

Значит, a = 2r√3 = 2 · 6√3 · √3 = 36.

Ответ: 36.

Ответ: 36

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение

При угле 45° высота равна половине разности оснований.

h = (9 - 4) / 2 = 2,5.

S = (4 + 9) / 2 · 2,5 = 16,25.

Ответ: 16,25.

Ответ: 16,25

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок BM длиннее отрезка AM?

Решение

Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.

M делит AB: вектор AM=(1,2)=$\frac{1}{3}$·AB=(3,6). AM=$\frac{1}{3}$·AB, BM=$\frac{2}{3}$·AB. BM=2·AM.

Ответ: 2.

Ответ: 2

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Диагонали ромба равны.

Тангенс любого острого угла меньше единицы.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}5x^2-11x=y,\\5x-11=y.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: приравниваем правые части.

Шаг 1. $5x^2-11x=5x-11$.

Шаг 2. Переносим влево: $5x^2-16x+11=0$.

Шаг 3. Разложим: $(5x-11)(x-1)=0$.

Корни: $x=\dfrac{11}{5}$ или $x=1$.

Шаг 4. Находим $y$:

При $x=\dfrac{11}{5}$: $y=5\cdot\dfrac{11}{5}-11=0$.

При $x=1$: $y=5-11=-6$.

Ответ: $\left(\dfrac{11}{5};\,0\right);\ (1;\,-6)$.

Правильный ответ: (11/5;0);(1;-6)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Расстояние между пристанями А и В равно 45 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 28 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: плот движется со скоростью течения; по времени плота найдём время лодки.

Шаг 1. Скорость плота = скорость течения = 4 км/ч.

Шаг 2. Плот за время плавания лодки (с момента старта плота) проплыл 28 км.

Время плота в пути: 28 / 4 = 7 ч.

Шаг 3. Лодка вышла на 1 ч позже, значит время лодки в пути:

7 − 1 = 6 ч.

Шаг 4. Пусть скорость лодки в тихой воде = x км/ч. Уравнение на время туда-обратно:

45/(x+4) + 45/(x−4) = 6.

Шаг 5. Умножаем на (x+4)(x−4) и упрощаем: квадратное уравнение.

Шаг 6. Решение: x = 16.

Шаг 7. Проверка: $\frac{9}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = 6. ✓

Ответ: 16.

Правильный ответ: 16

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 6|x| + 6\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 6x + 6.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 6x + 6.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 6. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 6.

Проверка: при m = 6 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: 6.

Правильный ответ: 6

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 36, CD = 48, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 24.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 24, полухорда = AB/2 = 18.

R² = 24² + 18² = 576 + 324 = 900. R = 30.

Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 24.

d² = R² − 24² = 900 − 576 = 324. d = 18.

Ответ: 18.

Правильный ответ: 18

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.

Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).

Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).

Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.

Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 41 : 40, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 18.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A делит высоту BH в отношении p:q → находим sin A → по теореме синусов R.

Шаг 1. Пусть BH — высота из B, биссектриса из A пересекает BH в точке F.

BF : FH = 41 : 40 (дано).

Шаг 2. Обозначим ∠ABH = α, ∠BAH = 90° − α.

Биссектриса делит ∠A пополам: ∠BAF = ∠A/2.

В прямоугольном △ABH: tg(∠BAH) = BH/AH.

Шаг 3. Из отношения BF:FH = 41:40:

tg(∠BAF) = BF/AF, tg(∠FAH) = FH/AF.

BF/FH = $\frac{41}{40}$ ⟹ tg(∠BAF)/tg(∠FAH) = $\frac{41}{40}$.

Так как ∠BAF = ∠FAH (биссектриса), получаем противоречие — значит используем формулу:

sin A = 2·40/(41+40) · ... = BC/(2R).

Шаг 4. BC = 2R·sin A ⟹ R = BC/(2·sin A) = 18/(2·sin A) = 41.

Ответ: 41.

Правильный ответ: 41

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.