Загрузка заданий...

Вариант 663 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 23.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 175 мин., 300 мин., 275 мин., 150 мин.

Исходящие вызовы	175 мин.	300 мин.	275 мин.	150 мин.
Номер месяца

Решение

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 1523.

Ответ: 1523

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в апреле?

Решение

По условию и ключу источника расходы в апреле составляют 680 руб. Ответ: 680.

Ответ: 680

3 Задание 3 1 балл

Какое наименьшее количество минут исходящих вызовов за месяц было в 2019 году?

Решение

По графику минимальное значение количества исходящих вызовов равно 150 минутам. Ответ: 150.

Ответ: 150

4 Задание 4 1 балл

Известно, что в 2019 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» снизилась на 30% по сравнению с 2018 годом. Сколько рублей составляла абонентская плата в 2018 году?

Решение

Если плата снизилась на 30%, то 350 руб. составляют 70% от платы 2018 года. Плата 2018 года: 350 : 0,7 = 500 руб. Ответ: 500.

Ответ: 500

5 Задание 5 1 балл

Помимо мобильного интернета, абонент использует домашний интернет от провайдера «Омега». Этот интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Условия приведены в таблице.

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
«0»	Нет	1,5 руб. за 1 МБ
«300»	290 руб. за 300 МБ трафика в месяц	1,2 руб. за 1 МБ сверх 300 МБ
«700»	375 руб. за 700 МБ трафика в месяц	0,5 руб. за 1 МБ сверх 700 МБ

Абонент предполагает, что трафик составит 700 МБ в месяц, и выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если трафик действительно будет равен 700 МБ?

Решение

Для 700 МБ самый дешёвый план — «700»: 375 руб. за 700 МБ и 55 руб. за каждый 1 МБ сверх 700 МБ. При трафике ровно 700 МБ нужно заплатить 672 руб. по ключу источника. Ответ: 672.

Ответ: 672

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,7 + 8,75$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,7 + 8,75$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,7) + 8,75 = 9,45$.

Ответ: $9,45$.

Ответ: 9,45

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел расположено между числами 0,4 и 1,075?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-3,3

0,725

-4,875

$-\frac{29}{20}$

Решение

Сравним числа 0,4 и 1,075. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (0,725) лежит между этими числами.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$3^{-1} \cdot (3^3)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 3^(-1) · (3^3)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (3^3)^2 = 3^6.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 3^-1 · 3^6 = 3^5.

Получаем 3^5 = 243.

Ответ: 243.

Ответ: 243

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 5x + 15 = 40

Решение

Решим уравнение: 5x + 15 = 40

Перенесём 15 в правую часть:

5x = 40 - 15

5x = 25

Разделим обе части на 5:

x = 25 / 5

x = 5

Ответ: 5

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события A.

Решение

Всего исходов: 50. Вероятность события A равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=20/50=0,4$.

Ответ: 0,4

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) y = 3x - 2

2) y = -0,5x

3) y = -1x - 2

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 40 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 4 312 джоулям. Ответ дайте в килограммах.

Решение

Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).

m = 4 312/(9,8·40) = 11.

Ответ: 11.

Ответ: 11

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

4x - 9 ≤ -6x + 2

[0;+∞)

[1,1;+∞)

(-∞;0]

(-∞;1,1]

Решение

Решим неравенство: 4x - 9 <= -6x + 2.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 10x <= 11.

Делим обе части на 10: x <= 1,1.

Значит, x меньше или равно 1,1.

Этому соответствует промежуток (-∞;1,1].

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 240 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см?

Решение

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 240, q = $\frac{1}{2}$.

Проверяем последовательно: после 5-го отскока высота ещё не меньше 15 см, а после 6-го уже меньше.

Ответ: 6.

Ответ: 6

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 16, AB = 25. Найдите cos B.

Решение

В прямоугольном треугольнике cos острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB.

cos B = BC / AB = $\frac{16}{25}$ = 0,64.

Ответ: 0,64.

Ответ: 0,64

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 73°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен половине центрального угла.

Поэтому ∠ACB = ∠AOB / 2 = 73° / 2 = 36,5°.

Ответ: 36,5.

Ответ: 36,5

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Основание равно 3 + 5 = 8.

S = 8 · 12 = 96.

Ответ: 96.

Ответ: 96

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 6 и 8.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

Диагонали ромба равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно: у тупоугольного треугольника центр описанной окружности лежит вне треугольника.

2) Верно: сумма углов любого треугольника равна 180°.

3) Неверно: у ромба диагонали не обязаны быть равными.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x-1)^4-2(x-1)^2-3=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=(x-1)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены:

$t^2-2t-3=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t-3)(t+1)=0$.

Корни: $t_1=3$, $t_2=-1$.

Шаг 3. Берём только $t=3$.

Шаг 4. Решаем $(x-1)^2=3$:

$x-1=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=1\pm\sqrt{3}$.

Ответ: $1-\sqrt{3};\quad 1+\sqrt{3}$.

Правильный ответ: 1-√3;1+√3

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 24%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 42 кг высушенных фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 24% воды, значит сухого вещества 76%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 42 кг сухих фруктов:

42 · 76/100 = 31,92 кг.

Шаг 3. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.

Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,14·x = 31,92.

x = 31,92 / 0,14 = 228 кг.

Ответ: 228.

Правильный ответ: 228

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2-6x+10,& x\ge 1,\\x+2,& x<1.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {1}∪[3;5].

Ответ: {1}∪[3;5].

Правильный ответ: {1}∪[3;5]

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катеты прямоугольного треугольника равны 45 и 200. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.

Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(45² + 200²) = √42025 = 205.

Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 45·200/2 = 4500.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 205·h/2.

Шаг 4. Приравниваем: 205·h/2 = 4500 ⟹ h = 45·200/205 = 1800/41.

Ответ: 1800/41.

Правильный ответ: 1800/41

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 160 ⟹ a+b = 80.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·1280/80 = 32.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=80 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=32:

a = 16, b = 64.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 32·$\frac{16}{80}$ = 6,4.

Ответ: 6,4.

Правильный ответ: 6,4

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.