Загрузка заданий...
Вариант 666 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 23.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 265/70 R17.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 20 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 275.
Ответ: 275
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 195/60 R16?
Решение
В маркировке 195/60 R16 ширина шины равна 195 мм, а высота боковины составляет 60% от ширины. H = 195 · 60 / 100 = 117 мм. Ответ: 117.
Ответ: 117
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 275/55 R20?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 265/70 R17 и нового колеса 275/55 R20. Ответ: 7.7.
Ответ: 7.7
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 265/70 R17 получаем диаметр 802.8 мм. Ответ: 802.8.
Ответ: 802.8
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 275/70 R17? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 265/70 R17 и колеса 275/70 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.7.
Ответ: 1.7
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} - \frac{3}{8}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{1} - \frac{3}{8}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{1}) - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}\).
Получили дробь \(\frac{5}{8}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,625\).
Ответ: \(0,625\).
Ответ: 0,625
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из следующих чисел заключено между числами -0,25 и \(\frac{24}{5}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа -0,25 и \(\frac{24}{5}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (\(\frac{19}{5}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 1
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$2^{-3} \cdot (2^3)^2$$
Решение
Вычислим выражение: 2^(-3) · (2^3)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (2^3)^2 = 2^6.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 2^-3 · 2^6 = 2^3.
Получаем 2^3 = 8.
Ответ: 8.
Ответ: 8
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-6}{x - 7} = 3$$
Решение
Решим уравнение: -6/(x - 7) = 3
Область допустимых значений: x != 7.
Умножим обе части уравнения на x - 7:
-6 = 3(x - 7)
Раскроем скобки:
-6 = 3x - 21
Перенесём число в левую часть:
15 = 3x
x = 15 / 3
x = 5
Проверка ОДЗ: x = 5, x != 7, условие выполняется.
Ответ: 5
Ответ: 5
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 15 чашек: 3 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 15.
Благоприятных исходов: 12 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{12}{15}\) = 0,8.
Ответ: 0,8.
Ответ: 0,8
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) k > 0, b > 0
2) k < 0, b > 0
3) k < 0, b < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 213.
Ответ: 213
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6000 + 4100n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 5 колец.
Решение
Подставим n = 5 в формулу C = 6000 + 4100n.
C = 6000 + 4100·5 = 26500.
Ответ: 26 500.
Ответ: 26 500
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
4x - 8 > -5x + 10
Решение
Решим неравенство: 4x - 8 > -5x + 10.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 9x > 18.
Делим обе части на 9: x > 2.
Значит, x больше 2.
Этому соответствует промежуток (2;+∞).
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 400 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 20 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 400, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 3-го отскока высота ещё не меньше 20 см, а после 4-го уже меньше.
Ответ: 4.
Ответ: 4
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике два угла равны 45° и 47°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
Решение
Сумма углов треугольника равна 180°.
Третий угол равен 180° - 45° - 47° = 88°.
Ответ: 88.
Ответ: 88
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 46°. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение
Трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная.
В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны.
Поэтому ∠B = 180° - ∠A? Нет, для оснований AD и BC углы A и D при одном основании, B и C — при другом. А в равнобедренной трапеции ∠A = ∠D и ∠B = ∠C, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.
Следовательно, ∠B = 180° - 46° = 134°.
Ответ: 134.
Ответ: 134
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Периметр ромба равен 48, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.
Решение
Сторона ромба равна 48 / 4 = 12.
Площадь ромба равна a²·sin α.
S = 12² · sin 30° = 12² · \(\frac{1}{2}\) = 72.
Ответ: 72.
Ответ: 72
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.
Решение
Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.
По клеткам AC = 10.
Средняя линия равна 10 / 2 = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Верно.
2) Неверно: тупым может быть только один угол.
3) Верно.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}3x^2-2x=y,\\3x-2=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: оба выражения равны \(y\) — приравниваем их между собой.
Шаг 1. Из системы следует \(3x^2-2x=3x-2\).
Шаг 2. Переносим всё в левую часть:
\(3x^2-2x-3x+2=0\Rightarrow 3x^2-5x+2=0\).
Шаг 3. Дискриминант: \(D=25-24=1\), \(\sqrt{D}=1\).
\(x_1=\dfrac{5+1}{6}=1,\quad x_2=\dfrac{5-1}{6}=\dfrac{2}{3}\).
Шаг 4. Находим \(y\) для каждого \(x\):
При \(x=1\): \(y=3\cdot1-2=1\).
При \(x=\dfrac{2}{3}\): \(y=3\cdot\dfrac{2}{3}-2=0\).
Ответ: \(\left(\dfrac{2}{3};\,0\right);\ (1;\,1)\).
Правильный ответ: (2/3;0);(1;1)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Моторная лодка прошла против течения реки 132 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.
Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.
Скорость против течения: x − 5. По течению: x + 5.
Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 5 ч больше):
132/(x − 5) − 132/(x + 5) = 5.
Шаг 3. Умножаем на (x−5)(x+5) = x²−25:
132(x+5) − 132(x−5) = 5(x²−25).
Шаг 4. Левая часть: 132·2·5 = 1320. Получаем квадратное уравнение:
5x² − 1320 − 125 = 0.
Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 17.
Шаг 6. Проверка: 132/12 = 11 ч, 132/22 = 6 ч, разность 5 ч. ✓
Ответ: 17.
Правильный ответ: 17
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}3x-3,& x<2,\\-3x+8{,}5,& 2\le x\le 3,\\3{,}5x-11,& x>3.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {-0,5}∪(2,5;3).
Ответ: {-0,5}∪(2,5;3).
Правильный ответ: {-0,5}∪(2,5;3)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 12, DC = 48, AC = 25.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: AB ∥ DC — треугольники ABM и CDM подобны по двум углам.
Шаг 1. Из подобия △ABM ∼ △CDM: AM/MC = AB/DC = \(\frac{12}{48}\) = \(\frac{1}{4}\).
Шаг 2. AC = AM + MC, причём AM : MC = 1 : 4.
Одна «часть» = AC / (4+1) = 25 / 5 = 5.
Шаг 3. MC = 4 · 5 = 20.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и CAB также равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.
Шаг 1. Углы DAC и DBC опираются на хорду DC и равны по условию.
По обратной теореме точки A, B, C, D лежат на одной окружности.
Шаг 2. Углы CDB и CAB опираются на хорду CB.
Как вписанные углы на одну дугу, они равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Окружности радиусов 42 и 84 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.
Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=42 и R=84.
O₁O₂ = r + R = 126 (внешнее касание).
Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.
Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.
Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).
Аналогично CD ⊥ O₁O₂.
Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.
По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(84·42) = 2√3528 = 84√2.
Ответ: 84√2.
Правильный ответ: 84√2
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.