Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 23.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
Исходящие вызовы
3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
90 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1Задание 11 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 1,5 ГБ, 2 ГБ, 3,75 ГБ, 1 ГБ.
Мобильный интернет
1,5 ГБ
2 ГБ
3,75 ГБ
1 ГБ
Номер месяца
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 83117.
Ответ: 83117
2Задание 21 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июне?
Решение
По условию и ключу источника расходы в июне составляют 425 руб. Ответ: 425.
Ответ: 425
3Задание 31 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент не превышал лимит ни по пакету минут, ни по пакету мобильного интернета?
Решение
По графику одновременно не превышены лимит 300 минут и лимит 3 ГБ в четырёх месяцах. Ответ: 4.
Ответ: 4
4Задание 41 балл
На сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в августе по сравнению с июлем 2019 года?
Решение
В июле 1 ГБ, в августе 1,5 ГБ. Увеличение 0,5 ГБ; 0,5 : 1 · 100% = 50%. Ответ: 50.
Ответ: 50
5Задание 51 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
Стоимость перехода на тариф
0 руб.
Абонентская плата в месяц
460 руб.
Пакет исходящих вызовов
400 минут
Пакет мобильного интернета
4 ГБ
Пакет СМС
130 СМС
Входящие вызовы
0 руб./мин.
Исходящие вызовы*
4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
160 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
По расчётам за год новый тариф не даёт экономии по сравнению с фактическими расходами на тарифе «Стандартный», поэтому абонент останется на тарифе с платой 350 руб. Ответ: 350.
Ответ: 350
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,15 + 0,12$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,15 + 0,12\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,15) + 0,12 = 0,27\).
Ответ: \(0,27\).
Ответ: 0,27
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Одно из чисел \(\frac{-9}{2}\), 2,54, \(\sqrt{11}\), \(\sqrt{27}\) отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{-9}{2}\)
2
2,54
3
\(\sqrt{11}\)
4
\(\sqrt{27}\)
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 3 и 4.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{-9}{2}\) ≈ -4,5
2) 2,54 ≈ 2,54
3) \(\sqrt{11}\) ≈ 3,3166
4) \(\sqrt{27}\) ≈ 5,1962
Точке A соответствует вариант 3.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{28} + \sqrt{28})\sqrt{7}$$
Найдите корни уравнения:
x2 - 14x + 45 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 - 14x + 45 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -14, c = 45.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -14² - 4·1·45 = 16.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (14 - √16) / 2 = 5
x₂ = (14 + √16) / 2 = 9
Ответ: 5;9
Ответ: 5;9
10Статистика, вероятности1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 25 машин: 19 чёрных, 5 жёлтых и 1 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Всего равновозможных исходов: 25.
Благоприятных исходов: 5 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{5}{25}\) = 0,2.
Ответ: 0,2.
Ответ: 0,2
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) y = -2x - 4
Б) y = -1x² - 2
В) y = √x
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.
Ответ: 132
12Расчёты по формулам1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 350 Вт, а сила тока равна 5 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 350/(5²) = 14.
Ответ: 14.
Ответ: 14
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 6)(x - 10) ≤ 0
1
2
3
4
Решение
Нули выражения: x = -6 и x = 10. На числовой прямой отмечаем точки -6 и 10 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 6)(x - 10) <= 0 получаем решение [-6;10]. Это вариант 4.
Ответ: 4
14Задачи на прогрессии1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 480 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 5 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 480, q = \(\frac{1}{2}\).
Проверяем последовательно: после 7-го отскока высота ещё не меньше 5 см, а после 8-го уже меньше.
Ответ: 8.
Ответ: 8
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC известно, что AB = 12, BC = 15, sin ∠ABC = 4/9. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение
Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 83°. Диагональ AC образует со стороной CD угол 143°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?
Решение
Угол между диагональю AC и основанием AD равен 143° - (180° - 83°).
Получаем 143 - 97 = 46°.
Так как основания параллельны, угол с меньшим основанием такой же.
Ответ: 46.
Ответ: 46
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 10 и 2.
Искомое отношение площадей равно (10 / 2)² = 25.
Ответ: 25.
Ответ: 25
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Все углы ромба равны.
2
Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.
3
Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Неверно: данных недостаточно без уточнения положения угла.
Ответ: 2.
Ответ: 2
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Найдите значение выражения \(29a-37b+63\), если \(\dfrac{6a-5b+9}{5a-6b+9}=7\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(29a-37b\) и подставить.
Свежие фрукты содержат 84% воды, а высушенные — 29%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 32 кг высушенных фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 29% воды, значит сухого вещества 71%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 32 кг сухих фруктов:
32 · 71/100 = 22,72 кг.
Шаг 3. Свежие фрукты содержат 84% воды, значит сухого вещества 16%.
Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,16·x = 22,72.
x = 22,72 / 0,16 = 142 кг.
Ответ: 142.
Правильный ответ: 142
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{7x-5}{7x^2-5x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=5/7 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=5/7 \), откуда \( k=49/25 \).
Ответ: \(\frac{49}{25}\).
Правильный ответ: 49/25
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 33, BC = 27, CF : DF = 2 : 1.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.
Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 2:1 (от C).
Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 2:1 (из подобия трапеций).
Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:
Шаг 3. Угол ∠CBD = ∠BDA (Шаг 1), а смежные стороны пропорциональны (Шаг 2).
По признаку подобия «угол и прилежащие стороны» △CBD ∼ △BDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 18 и 40 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √5/3.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.
Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.
Степень точки A: AT² = AM · AN = 18 · 40 = 720.
AT = √720.
Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.
sin∠TAM = MT/AT = r/AT.
Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:
MN = 22 (расстояние между M и N на прямой AC).
Через cos∠BAC = √\(\frac{5}{3}\) находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...
