Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 23.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
Номер печи
Тип
Объём помещения (куб. м)
Масса (кг)
Стоимость (руб.)
1
дровяная
8—12
40
18 000
2
дровяная
10—16
48
19 500
3
электрическая
9—15,5
15
15 000
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1Задание 11 балл
Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.
Масса (кг)
15
40
48
Номер печи
Решение
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.
Ответ: 312
2Задание 21 балл
Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.
Решение
Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.
Ответ: 15.4
3Задание 31 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?
Решение
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.
Ответ: 2000
4Задание 41 балл
На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.
Ответ: 16200
5Задание 51 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
По рисунку половина ширины кожуха равна 25 см, высота до точки арки у боковой стенки равна 60 см. Радиус: R = √(25² + 60²) = √4225 = 65 см. Ответ: 65.
Ответ: 65
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$3 \cdot 4$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(3 \cdot 4\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((3) \cdot 4 = 12\).
Ответ: \(12\).
Ответ: 12
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какое из чисел расположено между числами -2,06 и \(\sqrt{6}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{49}{20}\)
2
\(\frac{82}{25}\)
3
\(-\frac{39}{8}\)
4
\(-\frac{197}{40}\)
Решение
Сравним числа -2,06 и \(\sqrt{6}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (\(\frac{49}{20}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 1
Ответ: 1
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(2\sqrt{11})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (2√11)².
Используем свойство степени произведения: (2√11)² = 2² · (√11)².
Получаем 4 · 11 = 44.
Ответ: 44.
Ответ: 44
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 + x - 20 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 + x - 20 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 1, c = -20.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 1² - 4·1·-20 = 81.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (-1 - √81) / 2 = -5
x₂ = (-1 + √81) / 2 = 4
Ответ: -5;4
Ответ: -5;4
10Статистика, вероятности1 балл
У бабушки 50 чашек: 27 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 23 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{23}{50}\) = 0,46.
Ответ: 0,46.
Ответ: 0,46
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) y = -2x² - 10x - 13
Б) y = 0.3333333333333333x + 1
В) y = -9/x
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.
Ответ: 213
12Расчёты по формулам1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0002 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 17 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Подставим C = 0,0002 и U = 17 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0002·17² / 2 = 0,0289.
Ответ: 0,0289.
Ответ: 0,0289
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
5x - 1 > x - 1
1
(-∞;-0,5)
2
(-0,5;+∞)
3
(0;+∞)
4
(-∞;0)
Решение
Решим неравенство: 5x - 1 > x - 1.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 4x > 0.
Делим обе части на 4: x > 0.
Значит, x больше 0.
Этому соответствует промежуток (0;+∞).
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
14Задачи на прогрессии1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 450 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 7 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 450, q = \(\frac{1}{2}\).
Проверяем последовательно: после 7-го отскока высота ещё не меньше 7 см, а после 8-го уже меньше.
Ответ: 8.
Ответ: 8
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 26°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Биссектриса делит угол пополам.
Поэтому ∠BAD = 26° : 2 = 13°.
Ответ: 13.
Ответ: 13
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 12/13. Диаметр описанной около него окружности равен 13. Найдите площадь прямоугольника.
Решение
Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника.
Значит, диагональ равна 13.
Если sin угла между стороной и диагональю известен, то можно найти вторую тригонометрическую функцию и катеты прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю.
После вычисления сторон получаем площадь 60.
Ответ: 60.
Ответ: 60
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Площадь параллелограмма равна 54, а две его стороны равны 9 и 18. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.
Решение
Высоты к сторонам a и b находятся из формул S = a·h₁ и S = b·h₂.
h₁ = 54 / 9 = 6, h₂ = 54 / 18 = 3.
Требуемая высота равна 3.
Ответ: 3.
Ответ: 3
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение
Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.
По клеткам их длины равны 12 и 6.
Большая диагональ равна 12.
Ответ: 12.
Ответ: 12
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.
2
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.
3
Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Верно.
Ответ: 23.
Ответ: 23
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}5x^2-9x=y,\\5x-9=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: приравниваем правые части системы.
Шаг 1. \(5x^2-9x=5x-9\).
Шаг 2. Переносим влево: \(5x^2-14x+9=0\).
Шаг 3. Разложим: \((5x-9)(x-1)=0\).
Корни: \(x=\dfrac{9}{5}\) или \(x=1\).
Шаг 4. Находим \(y\):
При \(x=\dfrac{9}{5}\): \(y=5\cdot\dfrac{9}{5}-9=0\).
Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 73% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 72% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в втором растворе?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.
Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.
Шаг 2. При полном смешивании 70 кг получается раствор с концентрацией 73%:
40·x + 30·y = 70·0,73 = 51,1 ...(1).
Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 72%:
(x + y)/2 = 0,72 ⟹ x + y = 1,44 ...(2).
Шаг 4. Из (2): y = 1,44 − x. Подставляем в (1):
40·x + 30·(1,44 − x) = 51,1
40x + 43,2 − 30x = 51,1
10x = 7,9 ⟹ x = 0,79.
y = 1,44 − 0,79 = 0,65.
Шаг 5. Масса кислоты во 2-м сосуде: 30·0,65 = 19,5 кг.
Ответ: 19,5.
Правильный ответ: 19,5
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 4|x| - 4\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 4x - 4.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 4x - 4.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -4. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -4.
Проверка: при m = -4 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.
Ответ: -4.
Правильный ответ: -4
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 73° и 77°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 10.
Шаг 3. BC = 2R·sin 30° = 2·10·(\(\frac{1}{2}\)) = 10.
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 2. ∠KAB = ∠KCD: опираются на дугу AB (как вписанные углы).
Шаг 3. ∠KBA = ∠KDC: опираются на дугу BC.
Шаг 4. По двум равным углам △KAB ∼ △KCD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.
Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).
P = 2(a+b) = 80 ⟹ a+b = 40.
Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·320/40 = 16.
Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:
Из системы a+b=40 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=16:
a = 8, b = 32.
Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.
Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 16·\(\frac{8}{40}\) = 3,2.
