Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 30.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
Номер печи
Тип
Объём помещения (куб. м)
Масса (кг)
Стоимость (руб.)
1
дровяная
8—12
40
18 000
2
дровяная
10—16
48
19 500
3
электрическая
9—15,5
15
15 000
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1Задание 11 балл
Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.
Масса (кг)
15
40
48
Номер печи
Решение
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.
Ответ: 312
2Задание 21 балл
Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.
Решение
Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.
Ответ: 15.4
3Задание 31 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?
Решение
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.
Ответ: 2000
4Задание 41 балл
На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.
Ответ: 16200
5Задание 51 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
По рисунку половина ширины кожуха равна 25 см, высота до точки арки у боковой стенки равна 60 см. Радиус: R = √(25² + 60²) = √4225 = 65 см. Ответ: 65.
Ответ: 65
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,12 + 0,01$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,12 + 0,01\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,12) + 0,01 = 0,13\).
Ответ: \(0,13\).
Ответ: 0,13
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какой точке на координатной прямой соответствует число \(\frac{-31}{9}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
A
2
B
3
C
4
D
Решение
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число \(\frac{-31}{9}\) по своему значению совпадает с точкой A.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(7\sqrt{7})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (7√7)².
Используем свойство степени произведения: (7√7)² = 7² · (√7)².
Получаем 49 · 7 = 343.
Ответ: 343.
Ответ: 343
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Решите уравнение: 5x + 17 = 62
Решение
Решим уравнение: 5x + 17 = 62
Перенесём 17 в правую часть:
5x = 62 - 17
5x = 45
Разделим обе части на 5:
x = 45 / 5
x = 9
Ответ: 9
Ответ: 9
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события \(A \cap \overline{B}\).
Решение
Всего элементарных исходов: 6. Благоприятных для события \(A \cap \overline{B}\): 3.
\(P=3/6=0,5\).
Ответ: 0,5
Ответ: 0,5
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.
Коэффициенты
А) k < 0, b > 0
Б) k > 0, b > 0
В) k > 0, b < 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 231.
Ответ: 231
12Расчёты по формулам1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 2000 кг обладает кинетической энергией 25 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 25·1000 = 25 000 Дж.
v = √(2·25 000/2000) = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} x + 1 \leqslant 0,8 \\ x + 0,1 \geqslant -0,4 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [-0,5;-0,2]. Это вариант 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 16, d = 3, n = 15.
Сначала найдём последний ряд: a15 = 16 + (15 - 1)·3 = 58.
Сумма первых 15 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 15·(16 + 58)/2 = 555.
Ответ: 555.
Ответ: 555
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 72, AB = 75. Найдите cos B.
Решение
В прямоугольном треугольнике cos острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB.
cos B = BC / AB = \(\frac{72}{75}\) = 0,96.
Ответ: 0,96.
Ответ: 0,96
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Сторона квадрата равна 24√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Решение
Диагональ квадрата равна a√2.
Если a = 24√2, то d = 24√2 · √2 = 48.
Радиус описанной окружности равен половине диагонали.
R = d / 2 = 48 / 2 = 24.
Ответ: 24.
Ответ: 24
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 25° и 30°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Диагональ AC делит угол A на два угла, равные данным значениям.
Первые 450 км автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, следующие 230 км — со скоростью 115 км/ч, а последние 120 км — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.
Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):
t₁ = 450/90 = 5 ч,
t₂ = 230/115 = 2 ч,
t₃ = 120/40 = 3 ч.
Шаг 2. Общее расстояние: 450 + 230 + 120 = 800 км.
Шаг 3. Общее время: 5 + 2 + 3 = 10 ч.
Шаг 4. Средняя скорость: 800 / 10 = 80 км/ч.
Ответ: 80.
Правильный ответ: 80
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 8|x| - 6\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 8x - 6.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 8x - 6.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -6. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -6.
Проверка: при m = -6 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.
Ответ: -6.
Правильный ответ: -6
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 3, AC = 9.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: центр O лежит на AC, касание в B — значит OB ⊥ AB, OB = r.
Шаг 1. Пусть центр O делит AC: AO = AC − r (т.к. O на AC и окружность проходит через C, OC = r).
Шаг 2. △AOB прямоугольный (∠ABО = 90°, т.к. OB ⊥ AB).
AB² + r² = AO² = (AC − r)².
3² + r² = (9 − r)².
9 + r² = 81 − 18r + r².
18r = 81 − 9 = 72.
r = \(\frac{72}{18}\) = 4.
Шаг 3. D = 2r = \(\frac{72}{9}\) = 8.
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 2. ∠KAB = ∠KCD: опираются на дугу AB (как вписанные углы).
Шаг 3. ∠KBA = ∠KDC: опираются на дугу BC.
Шаг 4. По двум равным углам △KAB ∼ △KCD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 11, а расстояние от точки K до стороны AB равно 9.
