Загрузка заданий...

Вариант 745 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 30.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 245/45 R18.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 20 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 265.

Ответ: 265

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 265/50 R17?

Решение

В маркировке 265/50 R17 ширина шины равна 265 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 265 · 50 / 100 = 132.5 мм. Ответ: 132.5.

Ответ: 132.5

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 265/35 R20?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 245/45 R18 и нового колеса 265/35 R20. Ответ: 15.8.

Ответ: 15.8

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 245/45 R18 получаем диаметр 677.7 мм. Ответ: 677.7.

Ответ: 677.7

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 265/45 R18? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 245/45 R18 и колеса 265/45 R18, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.7.

Ответ: 2.7

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{2} \cdot 0,07 \cdot 50$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{2} \cdot 0,07 \cdot 50$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{2}) \cdot 0,07 = 0,105$.

Шаг 2: $(0,105) \cdot 50 = 5,25$.

Получили результат $5,25$.

Ответ: $5,25$.

Ответ: 5,25

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел расположено между числами $\frac{3}{25}$ и 0,58?
В ответе укажите номер правильного варианта.

0,35

0,08

0,7

$-\frac{439}{100}$

Решение

Сравним числа $\frac{3}{25}$ и 0,58. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (0,35) лежит между этими числами.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{63} + \sqrt{175})\sqrt{7}$$

Решение

Вычислим выражение: (√63 + √175)·√7.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √63 = 3√7, √175 = 5√7.

Тогда получаем (3√7 + 5√7)·√7 = 8√7·√7.

Так как √7·√7 = 7, имеем 8·7 = 56.

Ответ: 56.

Ответ: 56

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{3}{x + 3} = 1$$

Решение

Решим уравнение: 3/(x + 3) = 1

Область допустимых значений: x != -3.

Умножим обе части уравнения на x + 3:

3 = 1(x + 3)

Раскроем скобки:

3 = 1x + 3

Перенесём число в левую часть:

0 = 1x

x = 0 / 1

x = 0

Проверка ОДЗ: x = 0, x != -3, условие выполняется.

Ответ: 0

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $\overline{A} \cap B$.

Решение

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,25.

Ответ: 0,25

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) y = -2x - 4

Б) y = √x

В) y = -1x² - 2

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₁, если d₂ = 12, sinα = 0,091, а S = 7,636.

Решение

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₁: d₁ = 2S/(d₂sinα).

d₁ = 2·7,636/(12·0,091) = 14.

Ответ: 14.

Ответ: 14

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} -0,3 − 3x < -6,3 \\ 4x + 1,2 \leqslant 9,2 \end{cases}$$

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 12 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 100 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 12, q = 3.

За 100 минут пройдёт 5 промежутков по 20 минут.

Получаем массу 12·3^5 = 2916 мг.

Ответ: 2916.

Ответ: 2916

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 8, а высота, проведённая к этой стороне, равна 23. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 8 · 23 = 184/2 = 92.

Ответ: 92.

Ответ: 92

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 20√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен a√3 / 6.

r = (20√3 · √3) / 6 = $\frac{60}{6}$ = 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Основания трапеции равны 3 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Решение

Диагональ делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные половинам оснований.

Больший отрезок равен 11 / 2 = 5,5.

Ответ: 5,5.

Ответ: 5,5

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок AM длиннее отрезка BM?

Решение

Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.

M делит AB: вектор AM=(3,6)=$\frac{3}{4}$·AB=(4,8). AM=3·BM.

Ответ: 3.

Ответ: 3

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно: по определению окружности.

2) Неверно: площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

3) Верно: 1 + 2 < 4, не выполняется неравенство треугольника.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{x^2}+\frac{4}{x}-12=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: делаем замену $t=\frac{1}{x}$, чтобы свести к квадратному уравнению.

Шаг 1. Обозначим $t=\frac{1}{x}$. Тогда $\frac{1}{x^2}=t^2$. Уравнение становится:

$t^2+4t-12=0$.

Шаг 2. Находим корни. Дискриминант: $D=4^2+4\cdot12=16+48=64$, $\sqrt{D}=8$.

$t_1=\dfrac{-4+8}{2}=2,\quad t_2=\dfrac{-4-8}{2}=-6$.

Шаг 3. Обратная замена $x=\frac{1}{t}$:

Если $t=2$: $x=\dfrac{1}{2}$.

Если $t=-6$: $x=-\dfrac{1}{6}$.

Шаг 4. Проверяем ОДЗ: $x\ne0$ — оба корня удовлетворяют.

Ответ: $-\dfrac{1}{6};\quad \dfrac{1}{2}$.

Правильный ответ: -1/6;1/2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 7 км/ч меньше скорости второго.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: длина круга одинакова для обоих бегунов — составим уравнение.

Шаг 1. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго: (x + 7) км/ч.

Шаг 2. За 1 час первый пробежал x км, а до конца круга ему осталось 1 км.

Длина круга = x + 1 км.

Шаг 3. Второй пробежал круг 20 мин назад, то есть за (1 − $\frac{20}{60}$) = 0,6666666667 ч.

Длина круга = (x + 7) · 0,6666666667 км.

Шаг 4. Приравниваем: x + 1 = (x + 7) · 0,6666666667.

Шаг 5. Раскрываем и решаем: x = 11 км/ч.

Ответ: 11.

Правильный ответ: 11

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 8|x| + 3\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 8x + 3.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 8x + 3.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 3. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 3.

Проверка: при m = 3 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.

Ответ: 3.

Правильный ответ: 3

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 80. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.

Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(18² + 80²) = √6724 = 82.

Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 18·$\frac{80}{2}$ = 720.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 82·h/2.

Шаг 4. Приравниваем: 82·h/2 = 720 ⟹ h = 18·$\frac{80}{82}$ = 720/41.

Ответ: 720/41.

Правильный ответ: 720/41

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. MS = MT (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка M равноудалена от S и T

⟹ M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ST.

Шаг 2. NS = NT (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка N тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая MN совпадает с серединным перпендикуляром к ST.

Следовательно, MN ⟂ ST. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Углы при одном из оснований трапеции равны 50° и 40°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 8 и 1. Найдите основания трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.

Шаг 1. Углы 50° + 40° = 90° при одном основании.

При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:

• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.

Для данного случая: отрезки равны 8 и 1.

Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 8 и (b-a)/2 = 1 (или наоборот).

a+b = 16, b-a = 2.

b = 9, a = 7.

Ответ: 7; 9.

Правильный ответ: 7; 9

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.