Загрузка заданий...

Вариант 783 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 30.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Ваня летом отдыхает у дедушки в деревне Дивная. В пятницу они собираются съездить на велосипедах в село Ольгино в библиотеку. Из деревни Дивная в село Ольгино можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Калиновка до села Ровное, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Ольгино. Есть и третий маршрут: в деревню Калиновка можно свернуть на прямую тропинку в село Ольгино, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Ваня с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Ровное	Ольгино	Калиновка
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Дивная, промежуточная деревня на прямом шоссе — Калиновка, место поворота на другое шоссе — Ровное, конечный пункт — Ольгино.

Получаем соответствие: Дивная — 2, Калиновка — 1, Ровное — 4, Ольгино — 3.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Ровное, Ольгино, Калиновка.

Следовательно, ответ: 431.

Ответ: 431

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Ваня с дедушкой от деревни Калиновка до села Ольгино, если они поедут по шоссе через село Ровное?

Решение

От Калиновка до Ровное: 5 клеток · 1 км = 5 км.

От Ровное до Ольгино: 12 клеток · 1 км = 12 км.

Итого по шоссе: 5 + 12 = 17 км.

Ответ: 17.

Ответ: 17

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Осиновка до села Николаево по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 12 км и 16 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 20 км.

Ответ: 20.

Ответ: 20

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Ясная в село Майское Полина с дедушкой, если они поедут сначала по шоссе, а затем свернут в деревню Камышёвка на прямую тропинку, которая проходит мимо пруда?

Решение

Первый участок — по шоссе от Ясная до Камышёвка: 22 км.

Время на первом участке: 22 / 20 · 60 = 66.0 мин.

Второй участок — по прямой от Камышёвка до Майское: 26 км.

Время на втором участке: 26 / 15 · 60 = 104.0 мин.

Общее время: 66.0 + 104.0 = 170,0 мин.

Ответ: 170,0.

Ответ: 170,0

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Васильевка	Плодородное	Шарковка	Рассвет
Молоко (1 л)	44	49	48	42
Хлеб (1 батон)	38	26	27	31
Сыр «Российский» (1 кг)	279	273	275	264
Говядина (1 кг)	346	335	342	332
Картофель (1 кг)	28	15	24	27

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Васильевка, селе Плодородное, деревне Шарковка и деревне Рассвет. Дима с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Васильевка: 2·44=88 + 3·38=114 + 2·346=692 + 4·28=112 + 1·279=279 = 1 285

Плодородное: 2·49=98 + 3·26=78 + 2·335=670 + 4·15=60 + 1·273=273 = 1 179

Шарковка: 2·48=96 + 3·27=81 + 2·342=684 + 4·24=96 + 1·275=275 = 1 232

Рассвет: 2·42=84 + 3·31=93 + 2·332=664 + 4·27=108 + 1·264=264 = 1 213

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Плодородное": 1 179 руб.

Ответ: 1 179.

Ответ: 1179

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,03 : 0,04$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,03 : 0,04$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,03) : 0,04 = 0,75$.

Ответ: $0,75$.

Ответ: 0,75

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-a > 7

$\frac{1}{a} > 0$

-a > 6

a + 6 > 0

Решение

По чертежу видно, что -7 < a < -6.

Проверим варианты ответа:

1) -a > 7 ⇔ a < -7 — неверно.

2) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

3) -a > 6 ⇔ a < -6 — верно.

4) a + 6 > 0 ⇔ a > -6 — неверно.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$4^{-1} \cdot (4^2)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 4^(-1) · (4^2)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (4^2)^2 = 4^4.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 4^-1 · 4^4 = 4^3.

Получаем 4^3 = 64.

Ответ: 64.

Ответ: 64

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 3x + 6 = 27

Решение

Решим уравнение: 3x + 6 = 27

Перенесём 6 в правую часть:

3x = 27 - 6

3x = 21

Разделим обе части на 3:

x = 21 / 3

x = 7

Ответ: 7

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 20 чашек: 6 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Всего равновозможных исходов: 20.

Благоприятных исходов: 14 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{14}{20}$ = 0,7.

Ответ: 0,7.

Ответ: 0,7

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) y = 1x² + 4x - 3

Б) y = -0.5/x

В) y = -0.5x + 6

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,6 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

Решение

Подставим V = 0,6 в формулу F = ρgV.

F = 1000·9,8·0,6 = 5 880.

Ответ: 5 880.

Ответ: 5 880

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 1)(x - 1) ≤ 0

(-∞;-1) ∪ (1;+∞)

(-∞;-1] ∪ [1;+∞)

(-∞;-1)

[-1;1]

Решение

Нули выражения: x = -1 и x = 1. На числовой прямой отмечаем точки -1 и 1 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 1)(x - 1) <= 0 получаем решение [-1;1]. Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 15 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 4 секунд торможения?

Решение

Пройденный путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 15, d = -3, n = 4.

Сумма первых 4 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 4(2·15 + 3·(-3))/2 = 42.

Ответ: 42.

Ответ: 42

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AC = 58, BM – медиана, BM = 10. Найдите AM.

Решение

Медиана делит сторону, к которой проведена, пополам.

Поэтому AM = AC : 2 = 58 : 2 = 29.

Ответ: 29.

Ответ: 29

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен √10. Найдите площадь квадрата ABCD.

Решение

Пусть сторона квадрата равна a. Тогда O — середина стороны CD.

По теореме Пифагора OA² = a² + (a/2)² = 5a²/4.

Следовательно, OA = a√5 / 2.

По условию OA = √10, значит a = 2√2.

Площадь квадрата равна a² = 8.

Ответ: 8.

Ответ: 8

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 8, BD = 14, AB = 5. Найдите DO.

Решение

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, DO = BD / 2 = 14 / 2 = 7.

Ответ: 7.

Ответ: 7

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

Решение

Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.

Катеты равны 4 и 6.

Больший катет равен 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все хорды одной окружности равны между собой.

Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равных треугольника.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно: сумма углов любого треугольника равна 180°.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x}-4=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=\frac{1}{x}$ сводит уравнение к квадратному.

Шаг 1. После замены $\frac{1}{x^2}=t^2$, $\frac{1}{x}=t$:

$t^2-3t-4=0$.

Шаг 2. Разложим на множители: $(t-4)(t+1)=0$.

Корни: $t_1=4$, $t_2=-1$.

Шаг 3. Обратная замена $x=\frac{1}{t}$:

Если $t=4$: $x=\dfrac{1}{4}$.

Если $t=-1$: $x=-1$.

Шаг 4. ОДЗ: $x\ne0$ — оба корня подходят.

Ответ: $-1;\quad \dfrac{1}{4}$.

Правильный ответ: -1;1/4

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 6 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 56 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 45 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: время первого = время второго; второй едет две половины с разными скоростями.

Шаг 1. Пусть скорость первого равна x км/ч, длина пути — S.

Шаг 2. 1/x = 1/(2·(x−6)) + 1/(2·56).

Шаг 3. Умножаем на 2·(x−6)·x·56 и упрощаем.

С учётом условия получаем x = 48.

Ответ: 48.

Правильный ответ: 48

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x-2{,}5,& x<2,\\-x+1{,}5,& 2\le x\le 3,\\x-5,& x>3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: (-2;-1,5)∪{-0,5}.

Ответ: (-2;-1,5)∪{-0,5}.

Правильный ответ: (-2;-1,5)∪{-0,5}

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 120°, а CD = 48.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.

Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.

h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin45°.

Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:

h = CD · sin(∠BCD) = 48 · sin120°.

Шаг 3. Из равенства: AB · sin45° = 48 · sin120°.

AB = 48 · sin120°/sin45° (здесь sin120°/sin45° = √$\frac{6}{2}$).

AB = 24√6.

Ответ: 24√6.

Правильный ответ: 24√6

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.

Шаг 1. Углы CDB и CAB опираются на хорду CB и равны по условию.

По обратной теореме о вписанном угле точки A, B, C, D лежат на одной окружности.

Шаг 2. В этой окружности углы BCA и BDA опираются на одну хорду BA.

Вписанные углы на одну хорду равны ⟹ ∠BCA = ∠BDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 72, MD = 18, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: полуокружность на BC как диаметре даёт прямой угол; ортоцентр связан с высотой.

Шаг 1. M лежит на полуокружности с диаметром BC → ∠BMC = 90°.

Значит DM ⊥ BC (M на высоте AD, и ∠BMC = 90° означает MD ⊥ BC — то есть M ∈ высоте).

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABD: DM — высота из D на гипотенузу AB?

Свойство ортоцентра: AH · AD = AM² (отношение в прямоугольном треугольнике).

Шаг 3. AM = AD − MD = 72 − 18 = 54.

AM² = 2916.

AH = AM² / AD = 2916 / 72 = ... (проверяем формулой AH = AD − MD²/AD).

Шаг 4. AH = AD − MD²/AD = 72 − 324/72 = 67,5.

Ответ: 67,5.

Правильный ответ: 67,5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.