Загрузка заданий...

Вариант 827 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 30.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Володя летом отдыхает у дедушки в деревне Ёлочки. В воскресенье они собираются съездить на машине в село Кленовое в магазин. Из деревни Ёлочки в село Кленовое можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Сосенки до деревни Жуки, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Кленовое. Есть и третий маршрут: в деревню Сосенки можно свернуть на прямую грунтовую дорогу в село Кленовое, которая идёт мимо пруда. Шоссе и грунтовые дороги образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Володя с дедушкой едут со скоростью 80 км/ч, а по грунтовой дороге — 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 4 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Жуки	Кленовое	Сосенки
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Ёлочки, промежуточная деревня на прямом шоссе — Сосенки, место поворота на другое шоссе — Жуки, конечный пункт — Кленовое.

Получаем соответствие: Ёлочки — 4, Сосенки — 2, Жуки — 3, Кленовое — 1.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Жуки, Кленовое, Сосенки.

Следовательно, ответ: 312.

Ответ: 312

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Володя с дедушкой от деревни Ёлочки до села Кленовое, если они поедут по шоссе через деревню Жуки?

Решение

По шоссе путь состоит из двух участков: от Ёлочки до Жуки и от Жуки до Кленовое.

От Ёлочки до Жуки: 16 клеток · 4 км = 64 км.

От Жуки до Кленовое: 12 клеток · 4 км = 48 км.

Складываем: 64 + 48 = 112 км.

Ответ: 112.

Ответ: 112

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Ёлочки до села Кленовое по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 48 км и 64 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 80 км.

Ответ: 80.

Ответ: 80

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Ёлочки в село Кленовое Володя с дедушкой, если они поедут по прямой грунтовой дороге?

Решение

По прямой расстояние равно 80 км.

Скорость по грунтовой дороге — 40 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 80 / 40 ч.

В минутах это 120 мин, то есть 120,0 мин.

Ответ: 120,0.

Ответ: 120,0

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Ёлочки	Кленовое	Сосенки	Жуки
Молоко (1 л)	47	36	45	40
Хлеб (1 батон)	31	28	32	25
Сыр «Российский» (1 кг)	274	265	264	275
Говядина (1 кг)	297	292	297	301
Картофель (1 кг)	31	17	29	17

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Ёлочки, селе Кленовое, деревне Сосенки и деревне Жуки. Володя с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Ёлочки: 2·47=94 + 3·31=93 + 2·297=594 + 4·31=124 + 1·274=274 = 1 179

Кленовое: 2·36=72 + 3·28=84 + 2·292=584 + 4·17=68 + 1·265=265 = 1 073

Сосенки: 2·45=90 + 3·32=96 + 2·297=594 + 4·29=116 + 1·264=264 = 1 160

Жуки: 2·40=80 + 3·25=75 + 2·301=602 + 4·17=68 + 1·275=275 = 1 100

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Кленовое": 1 073 руб.

Ответ: 1 073.

Ответ: 1073

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,045 + 0,008 + 0,007$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,045 + 0,008 + 0,007$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,045) + 0,008 = 0,053$.

Шаг 2: $(0,053) + 0,007 = 0,06$.

Ответ: $0,06$.

Ответ: 0,06

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел расположено между числами $\frac{1}{1}$ и $\frac{42}{25}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-2,7

-1

3,75

1,42

Решение

Сравним числа $\frac{1}{1}$ и $\frac{42}{25}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (1,42) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$2\sqrt{10} \cdot 6\sqrt{5} \cdot \sqrt{50}$$

Решение

Вычислим выражение: 2√10 · 6√5 · √50.

Перемножим коэффициенты: 2 · 6 = 12.

Подкоренные выражения дают: √10 · √5 · √50 = √(10·5·50) = √(2500) = 50.

Тогда всё выражение равно 12 · 50 = 600.

Ответ: 600.

Ответ: 600

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} x - 3y = 17 \\ 8x - 2y = 48 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

x - 3y = 17

8x - 2y = 48

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 8, а второе — на 1.

Получим:

$(x - 3y = 17) \cdot 8$: 8x - 24y = 136

$(8x - 2y = 48) \cdot 1$: 8x - 2y = 48

Вычтем второе уравнение из первого:

-22y = 88

y = 88 / -22 = -4

Подставим y = -4 в первое уравнение:

x - 3y = 17

Получаем x = 5.

Ответ: (5;-4)

Ответ: 5;-4

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $A \cap \overline{B}$.

Решение

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,2.

Ответ: 0,2

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) y = 0.8x + 2

Б) y = -2x² - 6x + 1

В) y = 0.1/x

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 16-минутной поездки.

Решение

Подставим t = 16 в формулу C = 150 + 11(t − 5).

C = 150 + 11·(16 − 5) = 271.

Ответ: 271.

Ответ: 271

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-4x - 12 ≥ -6x + 3

[-4,5;+∞)

(-∞;0]

(-∞;-7,5]

[7,5;+∞)

Решение

Решим неравенство: -4x - 12 >= -6x + 3.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 2x >= 15.

Делим обе части на 2: x >= 7,5.

Значит, x больше или равно 7,5.

Этому соответствует промежуток [7,5;+∞).

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 6 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые шесть секунд?

Решение

Пройденные за секунды расстояния образуют арифметическую прогрессию: a₁ = 6, d = 10, n = 6.

Сумма первых 6 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 6(2·6 + 5·10)/2 = 186.

Ответ: 186.

Ответ: 186

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 16 и 20 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

Решение

По теореме Пифагора квадрат неизвестного катета равен разности квадрата гипотенузы и квадрата известного катета.

x² = 20² - 16² = 400 - 256 = 144.

Значит, x = 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 5/13. Диаметр описанной около него окружности равен 26. Найдите площадь прямоугольника.

Решение

Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника.

Значит, диагональ равна 26.

Если sin угла между стороной и диагональю известен, то можно найти вторую тригонометрическую функцию и катеты прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю.

После вычисления сторон получаем площадь 240.

Ответ: 240.

Ответ: 240

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Основание равно 3 + 5 = 8.

S = 8 · 12 = 96.

Ответ: 96.

Ответ: 96

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 3 и 9.

m = (3 + 9) / 2 = 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали параллелограмма равны.

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Неверно: не указано, что угол заключён между сторонами.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $6a-9b+16$, если $\dfrac{8a-7b+5}{7a-8b+5}=2$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $6a-9b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $8a-7b+5 = 2(7a-8b+5)$.

Шаг 2. Раскрываем: $8a-7b+5 = 14a-16b+10$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 6a-9b+5$, откуда $6a-9b = -5$.

Шаг 4. Вычисляем: $6a-9b+16 = -5+16 = 11$.

Ответ: 11.

Правильный ответ: 11

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время движения.

Шаг 1. Пусть скорость второго велосипедиста равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 10) км/ч.

Шаг 2. Первый прибывает на 3 ч раньше:

60/x − 60/(x+10) = 3.

Шаг 3. Умножаем на x·(x+10):

60·10 = 3·x·(x+10).

Шаг 4. Квадратное уравнение: 3x² + 30x − 600 = 0.

Шаг 5. D = 8100, √D = 90.

x = (−30 + 90) / (2·3) = 10 (скорость второго).

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2+1,& x\ge -1,\\-\dfrac{4}{x},& x<-1.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: (0;1)∪[4;+∞).

Ответ: (0;1)∪[4;+∞).

Правильный ответ: (0;1)∪[4;+∞)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.

Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(16² + 30²) = √1156 = 34.

Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 16·$\frac{30}{2}$ = 240.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 34·h/2.

Шаг 4. Приравниваем: 34·h/2 = 240 ⟹ h = 16·$\frac{30}{34}$ = 240/17.

Ответ: 240/17.

Правильный ответ: 240/17

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.

Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.

Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 12 и CD = 30 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: угол между диагоналями вписанного четырёхугольника = полусумма дуг.

Шаг 1. Диагонали пересекаются в K. ∠AKB = 60°.

По свойству вписанного угла: ∠AKB = (дуга AB + дуга CD) / 2.

⟹ дуга AB + дуга CD = 120°.

Шаг 2. Обозначим центральные углы: ∠AOB = 2α, ∠COD = 2β (O — центр).

α + β = 60°.

Шаг 3. По теореме синусов: AB = 2R·sin α, CD = 2R·sin β.

AB² + CD² + 2·AB·CD·cos(∠...) = ... — используем формулу для суммы квадратов хорд.

Шаг 4. AB² + CD² = 4R²(sin²α + sin²β).

При α + β = 60°: sin²α + sin²β = 1 − cos(α+β)·cos(α−β) + ... → проверяем числово.

AB² + CD² + AB·CD = 3R² (формула для угла 60°).

Шаг 5. 12² + 30² + 12·30 = 3R².

1404 = 3R² ⟹ R² = 1404/3.

R = 6√13.

Ответ: 6√13.

Правильный ответ: 6√13

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.