Загрузка заданий...
Вариант 104 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 19.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 150 мин., 300 мин., 175 мин., 375 мин.
| Исходящие вызовы | 150 мин. | 300 мин. | 175 мин. | 375 мин. |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 3517.
Ответ: 3517
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в августе?
Решение
По условию и ключу источника расходы в августе составляют 425 руб. Ответ: 425.
Ответ: 425
3
Задание 3
1 балл
Сколько месяцев в 2019 году расходы по тарифу составили ровно 350 рублей?
Решение
Ровно 350 рублей абонент платил в месяцы, когда не было доплат сверх пакетов. Таких месяцев четыре. Ответ: 4.
Ответ: 4
4
Задание 4
1 балл
Известно, что в 2019 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» выросла на 75% по сравнению с 2018 годом. Сколько рублей составляла абонентская плата в 2018 году?
Решение
350 руб. — это 175% от платы 2018 года. Значит, плата 2018 года: 350 : 1,75 = 200 руб. Ответ: 200.
Ответ: 200
5
Задание 5
1 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
| Стоимость перехода на тариф | 0 руб. |
|---|---|
| Абонентская плата в месяц | 470 руб. |
| Пакет исходящих вызовов | 400 минут |
| Пакет мобильного интернета | 4 ГБ |
| Пакет СМС | 120 СМС |
| Входящие вызовы | 0 руб./мин. |
| Исходящие вызовы* | 4 руб./мин. |
| Мобильный интернет (пакет) | 160 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
По расчётам за год новый тариф не выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент останется на тарифе с платой 350 руб. Ответ: 350.
Ответ: 350
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{4} : \frac{2}{3}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{4} : \frac{2}{3}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{4}) : \frac{2}{3} = \frac{3}{8}\).
Получили дробь \(\frac{3}{8}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,375\).
Ответ: \(0,375\).
Ответ: 0,375
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 2 и 3.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{5}{8}\) ≈ 0,625
2) 1,5 ≈ 1,5
3) \(\frac{\sqrt{19}}{2}\) ≈ 2,1794
4) 2,72 ≈ 2,72
Точке A соответствует вариант 3.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$5^{-3} \cdot (5^2)^2$$
Решение
Вычислим выражение: 5^(-3) · (5^2)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (5^2)^2 = 5^4.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 5^-3 · 5^4 = 5^1.
Получаем 5^1 = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 2 + 4(7x - 4) = 12x - 94
Решение
Решим уравнение: 2 + 4(7x - 4) = 12x - 94
Раскроем скобки:
2 + 4(7x - 4) = 12x - 94
2 + 28x - 16 = 12x - 94
Приведём подобные слагаемые в левой части:
28x - 14 = 12x - 94
Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:
16x = -80
Разделим обе части на 16:
x = -80 / 16
x = -5
Ответ: -5
Ответ: -5
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 50 билетов, Оскар не выучил 33 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 17 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{17}{50}\) = 0,34.
Ответ: 0,34.
Ответ: 0,34
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a < 0, c > 0
2) a > 0, c < 0
3) a > 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 213.
Ответ: 213
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6500 + 4000n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 11 колец.
Решение
Подставим n = 11 в формулу C = 6500 + 4000n.
C = 6500 + 4000·11 = 50500.
Ответ: 50 500.
Ответ: 50 500
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} x + 0,5 < 8,2 \\ 3x + 0,3 \leqslant 21,3 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;7]. Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 20, d = 2, n = 10.
Сначала найдём последний ряд: a10 = 20 + (10 - 1)·2 = 38.
Сумма первых 10 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 10·(20 + 38)/2 = 290.
Ответ: 290.
Ответ: 290
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 21° и AK = CK.
Решение
Так как AK = CK, треугольник AKC равнобедренный, значит ∠KAC = ∠ACK.
Но ∠ACK = ∠C = 21°.
Так как AK — биссектриса, ∠A = 2·21° = 42°.
Тогда ∠B = 180° - 42° - 21° = 117°.
Ответ: 117.
Ответ: 117
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 46°. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение
Трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная.
В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны.
Поэтому ∠B = 180° - ∠A? Нет, для оснований AD и BC углы A и D при одном основании, B и C — при другом. А в равнобедренной трапеции ∠A = ∠D и ∠B = ∠C, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.
Следовательно, ∠B = 180° - 46° = 134°.
Ответ: 134.
Ответ: 134
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 23° и 73°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
Решение
Диагональ и две боковые стороны образуют треугольник, сумма его углов 180°.
Искомый угол равен 180° - 23° - 73° = 84°.
Ответ: 84.
Ответ: 84
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 9 и 12.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15.
Ответ: 15.
Ответ: 15
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Неверно: не указано, что угол заключён между сторонами.
Ответ: 2.
Ответ: 2
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \((x-3)^4-3(x-3)^2-10=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=(x-3)^2\ge0\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2-3t-10=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t-5)(t+2)=0\).
Корни: \(t_1=5\), \(t_2=-2\).
Шаг 3. Берём только \(t=5\).
Шаг 4. Решаем \((x-3)^2=5\):
\(x-3=\pm\sqrt{5}\Rightarrow x=3\pm\sqrt{5}\).
Ответ: \(3-\sqrt{5};\quad 3+\sqrt{5}\).
Правильный ответ: 3-√5;3+√5
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 56 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 9 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: время первого автомобиля равно времени второго, разделить путь на половины.
Шаг 1. Пусть скорость первого автомобиля равна x км/ч, длина пути — S км.
Шаг 2. Время первого: S/x. Время второго: S/(2·56) + S/(2·(x+9)).
Шаг 3. Прибыли одновременно, значит: S/x = S/(2·56) + S/(2·(x+9)).
Шаг 4. Делим на S и умножаем на 2·56·x·(x+9):
2·56·(x+9) = x·(x+9) + 56·x.
Шаг 5. Раскрываем и упрощаем: x² + -47x − 1008 = 0.
Шаг 6. D = -47² + 4·1008 = 6241, √D = 79.
x = (−-47 + 79) / 2 = 63 (берём положительный корень).
Ответ: 63.
Правильный ответ: 63
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+6,25)((x+1))}{-1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=x^2+6,25,\ x\ne -1 \).
После преобразования получаем параболу \( y=x^2+a \) с выколотой точкой при \( x=-1 \).
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-5; 5; 7,25 \).
Ответ: \( -5; 5; 7,25 \).
Правильный ответ: -5; 5; 7,25
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 10, AC = 40.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.
Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.
Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 10 · 40 = 400.
Шаг 3. AB = √400 = 20.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Углы при одном из оснований трапеции равны 53° и 37°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 5. Найдите основания трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.
Шаг 1. Углы 53° + 37° = 90° при одном основании.
При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:
• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.
Для данного случая: отрезки равны 15 и 5.
Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 15 и (b-a)/2 = 5 (или наоборот).
a+b = 30, b-a = 10.
b = 20, a = 10.
Ответ: 10; 20.
Правильный ответ: 10; 20
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.