Загрузка заданий...

Вариант 1065 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 215/65 R16.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 235.

Ответ: 235

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 275/70 R16?

Решение

В маркировке 275/70 R16 ширина шины равна 275 мм, а высота боковины составляет 70% от ширины. H = 275 · 70 / 100 = 192.5 мм. Ответ: 192.5.

Ответ: 192.5

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 235/50 R18?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/65 R16 и нового колеса 235/50 R18. Ответ: 6.3.

Ответ: 6.3

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 215/65 R16 получаем диаметр 685.9 мм. Ответ: 685.9.

Ответ: 685.9

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/65 R16? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/65 R16 и колеса 225/65 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.9.

Ответ: 1.9

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$3 \cdot 40$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $3 \cdot 40$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(3) \cdot 40 = 120$.

Ответ: $120$.

Ответ: 120

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами $-\frac{15}{4}$ и 0,25?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$2\sqrt{3}$

-3,825

$\frac{13}{10}$

$-\frac{84}{25}$

Решение

Сравним числа $-\frac{15}{4}$ и 0,25. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 ($-\frac{84}{25}$) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$10^{-2} \cdot (10^2)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 10^(-2) · (10^2)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (10^2)^2 = 10^4.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 10^-2 · 10^4 = 10^2.

Получаем 10^2 = 100.

Ответ: 100.

Ответ: 100

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 5x + 4 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² - 5x + 4 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -5, c = 4.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -5² - 4·1·4 = 9.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (5 - √9) / 2 = 1

x₂ = (5 + √9) / 2 = 4

Ответ: 1;4

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 38 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 200.

Благоприятных исходов: 162 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 162/200 = 0,81.

Ответ: 0,81.

Ответ: 0,81

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

А) y = -0,5x - 3

Б) y = 0,5x - 4

В) y = -1x + 3

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 123.

Ответ: 123

12 Расчёты по формулам 1 балл

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,09 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

Решение

Подставим V = 0,09 в формулу F = ρgV.

F = 1000·9,8·0,09 = 882.

Ответ: 882.

Ответ: 882

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} x + 1,1 < 2,1 \\ 2x − 3,6 \leqslant -3,6 \end{cases}$$

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;0]. Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 15 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 15, d = 2, n = 15.

Сначала найдём последний ряд: a15 = 15 + (15 - 1)·2 = 43.

Сумма первых 15 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 15·(15 + 43)/2 = 435.

Ответ: 435.

Ответ: 435

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 68°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Биссектриса делит угол пополам.

Поэтому ∠BAD = 68° : 2 = 34°.

Ответ: 34.

Ответ: 34

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 32. Найдите высоту этой трапеции.

Решение

Окружность касается обоих оснований трапеции.

Расстояние между основаниями равно сумме расстояний от центра окружности до каждого основания, то есть двум радиусам.

h = 2r = 2 · 32 = 64.

Ответ: 64.

Ответ: 64

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов прямоугольной трапеции равен 51°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение

В прямоугольной трапеции два угла по 90°, а два других supplementary.

Искомый угол равен 180° - 51° = 129°.

Ответ: 129.

Ответ: 129

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 3 и 4.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Все углы ромба равны.

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $6a-21b+37$, если $\dfrac{6a-3b+9}{3a-6b+9}=4$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $6a-21b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $6a-3b+9 = 4(3a-6b+9)$.

Шаг 2. Раскрываем: $6a-3b+9 = 12a-24b+36$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 6a-21b+27$, откуда $6a-21b = -27$.

Шаг 4. Вычисляем: $6a-21b+37 = -27+37 = 10$.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 24%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 42 кг высушенных фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 24% воды, значит сухого вещества 76%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 42 кг сухих фруктов:

42 · 76/100 = 31,92 кг.

Шаг 3. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.

Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,14·x = 31,92.

x = 31,92 / 0,14 = 228 кг.

Ответ: 228.

Правильный ответ: 228

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2-4x+4,& x\ge -1,\\-\dfrac{9}{x},& x<-1.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {0}∪[9;+∞).

Ответ: {0}∪[9;+∞).

Правильный ответ: {0}∪[9;+∞)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 80 и 116. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.

Шаг 1. Второй катет: √(116² − 80²) = √7056 = 84.

Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 80·$\frac{84}{2}$ = 3360.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу 116 и высоту h к ней: S = 116·h/2.

Шаг 4. Из равенства площадей: h = 80·84/116 = 1680/29.

Ответ: 1680/29.

Правильный ответ: 1680/29

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов C и D четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AB. Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Шаг 1. Точка P лежит на биссектрисе угла C.

⟹ расстояние от P до обеих сторон угла C одинаково.

Шаг 2. Точка P лежит на биссектрисе угла D.

⟹ расстояние от P до обеих сторон угла D одинаково.

Шаг 3. Объединяя: расстояние от P до каждой из прямых BC, CD и AD одинаково. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 28, AC = 56, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: BD ⊥ AO; центр O описанной окружности — AO является серединным перпендикуляром к BC.

Шаг 1. O — центр описанной окружности △ABC. AO — это не медиана, а направление из A к O.

Шаг 2. BD ⊥ AO. Рассмотрим проекцию: в треугольнике ABD ∠BDA = 90° (BD ⊥ AO, т.е. BD ⊥ AD?).

Точнее: AO — биссектриса ∠BAC тогда и только тогда, когда AB = AC. Иначе используем другой подход.

Шаг 3. Из подобия △ABD ~ △ACB (доказывается через равенство углов):

AD/AB = AB/AC ⟹ AD = AB²/AC = 28²/56 = 784/56.

Шаг 4. CD = AC − AD = 56 − 784/56 = 42.

Ответ: 42.

Правильный ответ: 42

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.