Загрузка заданий...

Вариант 109 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 30.08.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,2 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	спальня	кухня
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 8, кладовая — 4, спальня — 7, кухня — 5.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, кухня.

Следовательно, ответ: 8475.

Ответ: 8475

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 20 см на 40 см продаётся в упаковках по 12 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в гостиной?

Решение

По плану площадь покрытия гостиной составляет 154 клетки.

Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м, поэтому площадь равна 154 · 0,16 = 24,64 кв. м.

Площадь одной доски: 0,2 · 0,4 = 0,08 кв. м.

Нужно элементов: 24,64 / 0,08 = 308.

В одной упаковке 12 штук, значит понадобится 26 упаковок.

Ответ: 26.

Ответ: 26

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь санузла. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 36 клеток.

Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м.

Значит, площадь равна 36 · 0,16 = 5,76 кв. м.

Ответ: 5,76.

Ответ: 5,76

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь коридора больше площади кладовой?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 144 клетки, второе: 24 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 24) / 24) · 100% = 500%.

Ответ: 500.

Ответ: 500

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «600»	650 руб. за 600 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 600 Мб
План «900»	820 руб. за 900 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 900 Мб
План «Безлимитный»	950 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 1000 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 1000 Мб?

Решение

Считаем стоимость интернета при трафике 1000 Мб:

План «600»: 650 + 400 · 2 = 1 450 руб.

План «900»: 820 + 100 · 1,5 = 970 руб.

План «Безлимитный»: 950 руб.

Самым дешёвым оказывается План «Безлимитный»: 950 руб.

Ответ: 950.

Ответ: 950

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{4} - 0,045 - \frac{3}{8}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{4} - 0,045 - \frac{3}{8}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{4}) - 0,045 = 0,705$.

Шаг 2: $(0,705) - \frac{3}{8} = 0,33$.

Получили результат $0,33$.

Ответ: $0,33$.

Ответ: 0,33

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел расположено между числами -2,35 и $\frac{53}{20}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

3,35

$\frac{167}{40}$

-3,68

-0,35

Решение

Сравним числа -2,35 и $\frac{53}{20}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (-0,35) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{3} - 5)(\sqrt{3} + 5)$$

Решение

Вычислим выражение: (√3 - 5)(√3 + 5).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√3)² - 5² = 3 - 25 = -22.

Ответ: -22.

Ответ: -22

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{6}{x + 3} = -3$$

Решение

Решим уравнение: 6/(x + 3) = -3

Область допустимых значений: x != -3.

Умножим обе части уравнения на x + 3:

6 = -3(x + 3)

Раскроем скобки:

6 = -3x - 9

Перенесём число в левую часть:

15 = -3x

x = 15 / -3

x = -5

Проверка ОДЗ: x = -5, x != -3, условие выполняется.

Ответ: -5

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 125 карманных фонариков, поступивших в продажу, 111 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 125.

Благоприятных исходов: 14 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 14/125 = 0,112.

Ответ: 0,112.

Ответ: 0,112

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c > 0

Б) a > 0, c < 0

В) a < 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 35 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Подставим t_C = 35 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(35) + 32 = 95.

Ответ: 95.

Ответ: 95

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

9x - 6 < 3x - 6

(-2;+∞)

(-∞;0)

(0;+∞)

(-∞;-2)

Решение

Решим неравенство: 9x - 6 < 3x - 6.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 6x < 0.

Делим обе части на 6: x < 0.

Значит, x меньше 0.

Этому соответствует промежуток (-∞;0).

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 11 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 5,6 м, q = $\frac{1}{2}$.

Пороговая высота равна 11 см = 0,11 м.

После 6-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 7-го прыжка уже меньше.

Ответ: 7.

Ответ: 7

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 4/15, AB = 45. Найдите AC.

Решение

В прямоугольном треугольнике sin B = AC / AB.

Значит, AC = AB · sin B = 45 · $\frac{4}{15}$ = 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Диагональ AC ромба ABCD равна 28, а tg ∠BCA = 24/7. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.

Поэтому в прямоугольном треугольнике с катетами AC/2 и BD/2:

tg ∠BCA = BD / AC, значит BD = AC · tg ∠BCA = 28 · $\frac{24}{7}$ = 96.

Площадь ромба S = AC · BD / 2 = 28 · 96 / 2 = 1344.

Сторона ромба a = √(($\frac{28}{2}$)² + ($\frac{96}{2}$)²) = 50.

Для ромба с вписанной окружностью S = r·p, где p — полупериметр, равный 2a.

r = S / (2a) = 1344 / (2·50) = 13,44.

Ответ: 13,44.

Ответ: 13,44

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 18° и 84°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

Решение

Диагональ и две боковые стороны образуют треугольник, сумма его углов 180°.

Искомый угол равен 180° - 18° - 84° = 78°.

Ответ: 78.

Ответ: 78

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 6 и 3.

Искомое отношение площадей равно (6 / 3)² = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Неверно: из равенства трёх углов следует подобие, а не равенство.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

Ответ: 23

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $\frac{-15}{(x+1)^2-3}\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: числитель $-15<0$, дробь $\ge0$ только при отрицательном знаменателе.

Шаг 1. Условие: $(x+1)^2-3<0$.

Шаг 2. $(x+1)^2<3$.

Шаг 3. $-\sqrt{3}<x+1<\sqrt{3}$.

Шаг 4. Вычитаем 1: $-1-\sqrt{3}<x<-1+\sqrt{3}$.

Ответ: $(-1-\sqrt{3};\; -1+\sqrt{3})$.

Правильный ответ: (-1-√3;-1+√3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 28 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 286 км, скорость первого велосипедиста равна 10 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: ввести переменную t — время от старта до встречи; первый велосипедист находился в движении меньше.

Шаг 1. Обозначим t (ч) — время от выезда до встречи.

Шаг 2. Первый сделал остановку 28 мин = $\frac{7}{15}$ ч, поэтому его время движения: t − $\frac{7}{15}$.

Шаг 3. Суммарный путь равен расстоянию между городами:

10·(t − $\frac{7}{15}$) + 30·t = 286.

Шаг 4. Раскрываем: (10 + 30)·t = 286 + 10·$\frac{7}{15}$ = 872/3.

t = 872/3 / 40 = 109/15 ч.

Шаг 5. Расстояние от города второго велосипедиста до места встречи:

30 · 109/15 = 218 км.

Ответ: 218.

Правильный ответ: 218

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2-6x+6,& x\ge 2,\\x-3,& x<2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {-3}∪(-2;-1).

Ответ: {-3}∪(-2;-1).

Правильный ответ: {-3}∪(-2;-1)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 30, AC = 70, NC = 48.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.

Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = $\frac{30}{70}$ = $\frac{3}{7}$.

Шаг 2. Из подобия: BN/BC = $\frac{3}{7}$, то есть BN = 3·BC/7.

Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 48.

Подставляем: BN = 3·(BN + 48)/7.

7·BN = 3·BN + 3·48.

(7−3)·BN = 144 ⟹ BN = 144/(7−3) = 36.

Ответ: 36.

Правильный ответ: 36

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Докажите, что отрезки AE и CF равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: диагонали параллелограмма делятся пополам — O является центром симметрии.

Шаг 1. Точка O — центр симметрии параллелограмма (точка пересечения диагоналей).

Шаг 2. Прямая через O пересекает AB в точке E и CD в точке F.

Центральная симметрия переводит AB в CD и E в F (так как O — центр).

Шаг 3. При центральной симметрии расстояния сохраняются, значит AE = CF. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 40, AC = 64, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: BD ⊥ AO; центр O описанной окружности — AO является серединным перпендикуляром к BC.

Шаг 1. O — центр описанной окружности △ABC. AO — это не медиана, а направление из A к O.

Шаг 2. BD ⊥ AO. Рассмотрим проекцию: в треугольнике ABD ∠BDA = 90° (BD ⊥ AO, т.е. BD ⊥ AD?).

Точнее: AO — биссектриса ∠BAC тогда и только тогда, когда AB = AC. Иначе используем другой подход.

Шаг 3. Из подобия △ABD ~ △ACB (доказывается через равенство углов):

AD/AB = AB/AC ⟹ AD = AB²/AC = 40²/64 = 1600/64.

Шаг 4. CD = AC − AD = 64 − 1600/64 = 39.

Ответ: 39.

Правильный ответ: 39

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.