Загрузка заданий...
Вариант 1099 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
| Стоимость (руб.) | 15 000 | 19 500 | 18 000 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
Ответ: 321
2
Задание 2
1 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Площадь пола: 3,5 · 2,2 = 7,7 кв. м. Ответ: 7,7.
Ответ: 7.7
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
Ответ: 4500
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
Ответ: 17550
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
По рисунку половина ширины кожуха равна 30 см, высота до точки арки у боковой стенки равна 40 см. Радиус: R = √(30² + 40²) = √2500 = 50 см. Ответ: 50.
Ответ: 50
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,3 \cdot \frac{9}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,3 \cdot \frac{9}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,3) \cdot \frac{9}{5} = 0,54\).
Получили результат \(0,54\).
Ответ: \(0,54\).
Ответ: 0,54
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между -2 и -1.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{-18}{5}\) ≈ -3,6
2) \(\frac{-15}{13}\) ≈ -1,1538
3) 0,59 ≈ 0,59
4) \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) ≈ 1,118
Точке A соответствует вариант 2.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$3\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{20}$$
Решение
Вычислим выражение: 3√10 · 2√2 · √20.
Перемножим коэффициенты: 3 · 2 = 6.
Подкоренные выражения дают: √10 · √2 · √20 = √(10·2·20) = √(400) = 20.
Тогда всё выражение равно 6 · 20 = 120.
Ответ: 120.
Ответ: 120
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 7x - 5y = 3 \\ 4x - 3y = 3 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
7x - 5y = 3
4x - 3y = 3
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 4, а второе — на 7.
Получим:
\((7x - 5y = 3) \cdot 4\): 28x - 20y = 12
\((4x - 3y = 3) \cdot 7\): 28x - 21y = 21
Вычтем второе уравнение из первого:
1y = -9
y = -9 / 1 = -9
Подставим y = -9 в первое уравнение:
7x - 5y = 3
Получаем x = -6.
Ответ: (-6;-9)
Ответ: -6;-9
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Читаем дерево слева направо.
Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.9 и 0.1: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.
От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.25, по нижнему 0.8.
Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.
Верхний путь: 0.9 · 0.25 = 0.225.
Нижний путь: 0.1 · 0.8 = 0.08.
Складываем: 0.225 + 0.08 = 0.305.
Ответ: 0,305
Ответ: 0,305
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) y = 1.6666666666666667x - 1
Б) y = -1x² + 2x + 3
В) y = 1/x
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.
Ответ: 312
12
Расчёты по формулам
1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 2400 кг обладает кинетической энергией 172,8 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 172,8·1000 = 172 800 Дж.
v = √(2·172 800/2400) = 12.
Ответ: 12.
Ответ: 12
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
x2 < 25
1
2
3
4
Решение
Из неравенства x² < 25 получаем границы x = ±5. Верное решение: (-5;5). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 17 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 80 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 17, q = 3.
За 80 минут пройдёт 4 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 17·3^4 = 1377 мг.
Ответ: 1377.
Ответ: 1377
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите медиану этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.
Получаем: 14√3 · √3 / 2 = 14·3 / 2 = 21.
Ответ: 21.
Ответ: 21
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Периметр треугольника равен 120, одна из сторон равна 38, а радиус вписанной в него окружности равен 2. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = pr, где p — полупериметр.
p = 120 / 2 = 60.
S = p·r = 60 · 2 = 120.
Ответ: 120.
Ответ: 120
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Основания трапеции равны 13 и 14, а высота равна 9. Найдите площадь этой трапеции.
Решение
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
S = (13 + 14) / 2 · 9 = 121,5.
Ответ: 121,5.
Ответ: 121,5
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Решение
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
По клеткам основание равно 4, высота равна 5.
S = 4 · 5 = 20.
Ответ: 20.
Ответ: 20
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно: все углы ромба равны только у квадрата.
2) Неверно: равенство соответствующих сторон четырёхугольников не гарантирует их равенство.
3) Верно: из точки вне окружности можно провести две касательные.
Ответ: 3.
Ответ: 3
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((x-11)^2<\sqrt{5}(x-11)\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перенести правую часть влево и вынести \((x-11)\).
Шаг 1. Переносим: \((x-11)^2-\sqrt{5}(x-11)<0\).
Шаг 2. Выносим: \((x-11)\bigl[(x-11)-\sqrt{5}\bigr]<0\).
Шаг 3. Нули: \(x=11\) и \(x=11+\sqrt{5}\).
Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.
Ответ: \((11;\; 11+\sqrt{5})\).
Правильный ответ: (11;11+√5)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 84 км/ч, а вторую — со скоростью 96 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.
Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/84 ч.
Шаг 2. Время на второй половине: S/96 ч.
Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/84 + S/96) = 2 / (\(\frac{1}{84}\) + \(\frac{1}{96}\)).
Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·84·96 / (84 + 96) = 16128 / 180 = 89,6 км/ч.
Ответ: 89,6.
Правильный ответ: 89,6
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{9x+1}{9x^2+1x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-1/9 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=-1/9 \), откуда \( k=81 \).
Ответ: 81.
Правильный ответ: 81
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 62° и 88°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 8.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: применить теорему синусов BC/sin A = 2R.
Шаг 1. Находим угол A: A = 180° − 62° − 88° = 30°.
Шаг 2. По теореме синусов: BC/sin A = 2R.
Шаг 3. BC = 2R·sin 30° = 2·8·(\(\frac{1}{2}\)) = 8.
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. MS = MT (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка M равноудалена от S и T
⟹ M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ST.
Шаг 2. NS = NT (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка N тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая MN совпадает с серединным перпендикуляром к ST.
Следовательно, MN ⟂ ST. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 20. Найдите стороны треугольника ABC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.
Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.
Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.
Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.
Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−10, 0), D = (10, 0) (|AD| = 20).
В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.
Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (20, h). На прямой BE точка E = (0, 20 − h), так как BE = 20.
Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·\(\frac{20}{4}\) = 15.
Шаг 5. AB = √(h² + (10)²) = √(225 + 100) = 5√13;
BC = 2·AB = 10√13; CA = 15√5.
Ответ: 5√13; 10√13; 15√5.
Правильный ответ: 5√13; 10√13; 15√5
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.