Загрузка заданий...

Вариант 11 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно
Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 19.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Рис. 1. Маркировка шиныРис. 2. Размеры колеса

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/70 R14.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

Таблица разрешённых размеров шин
1 Задание 1 1 балл

Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 15 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 225.
Ответ: 225
2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 185/65 R15?

Решение
В маркировке 185/65 R15 ширина шины равна 185 мм, а высота боковины составляет 65% от ширины. H = 185 · 65 / 100 = 120.25 мм. Ответ: 120.25.
Ответ: 120.25
3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 215/50 R16?

Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и нового колеса 215/50 R16. Ответ: 6.8.
Ответ: 6.8
4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 185/70 R14 получаем диаметр 614.6 мм. Ответ: 614.6.
Ответ: 614.6
5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов уменьшится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 205/55 R15? Результат округлите до десятых.

Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и колеса 205/55 R15, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.3.
Ответ: 1.3
6 Числа и вычисления 1 балл
Найдите значение выражения $$75 \cdot 0,09$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(75 \cdot 0,09\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((75) \cdot 0,09 = 6,75\).
Ответ: \(6,75\).
Ответ: 6,75
7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл
Какое из чисел расположено между числами \(-\frac{2}{1}\) и \(\sqrt{7}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
5
2
-3,26
3
-4,84
4
1,7
Решение
Сравним числа \(-\frac{2}{1}\) и \(\sqrt{7}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (1,7) лежит между этими числами.
Ответ: 4
Ответ: 4
8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл
Найдите значение выражения $$2^{2} \cdot (2^3)^2$$
Решение
Вычислим выражение: 2^(2) · (2^3)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (2^3)^2 = 2^6.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 2^2 · 2^6 = 2^8.
Получаем 2^8 = 256.
Ответ: 256.
Ответ: 256
9 Уравнения, системы уравнений 1 балл
Решите уравнение: 2 + 3(5x - 4) = -12x + 44
Решение
Решим уравнение: 2 + 3(5x - 4) = -12x + 44
Раскроем скобки:
2 + 3(5x - 4) = -12x + 44
2 + 15x - 12 = -12x + 44
Приведём подобные слагаемые в левой части:
15x - 10 = -12x + 44
Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:
27x = 54
Разделим обе части на 27:
x = 54 / 27
x = 2
Ответ: 2
Ответ: 2
10 Статистика, вероятности 1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события \(A \cap \overline{B}\).
Диаграмма Эйлера
Решение
Всего элементарных исходов: 5. Благоприятных для события \(A \cap \overline{B}\): 1.
\(P=1/5=0,2\).
Ответ: 0,2
Ответ: 0,2
11 Графики функций 1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) y = 1x + 1
Б) y = 1/x
В) y = 2x² + 14x + 24
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
АБВ
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.
Ответ: 123
12 Расчёты по формулам 1 балл
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tC + 32, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -35 градусов по шкале Цельсия?
Решение
Подставим t_C = -35 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.
t_F = 1,8·(-35) + 32 = -31.
Ответ: -31.
Ответ: -31
13 Неравенства, системы неравенств 1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 8)(x - 5) ≥ 0
1
(-∞;-8] ∪ [5;+∞)
2
(-∞;5]
3
(-∞;-8) ∪ (5;+∞)
4
[-8;+∞)
Решение
Нули выражения: x = -8 и x = 5. На числовой прямой отмечаем точки -8 и 5 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 8)(x - 5) >= 0 получаем решение (-∞;-8] ∪ [5;+∞). Это вариант 1.
Ответ: 1
14 Задачи на прогрессии 1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 540 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 25 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 540, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 3-го отскока высота ещё не меньше 25 см, а после 4-го уже меньше.
Ответ: 4.
Ответ: 4
15 Треугольники и их элементы 1 балл
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 17°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
Чертёж
Решение
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.
Другой острый угол равен 90° - 17° = 73°.
Ответ: 73.
Ответ: 73
16 Окружность, круг и их элементы 1 балл
Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 56°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
Чертёж
Решение
В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
∠C = 180° - 56° = 124°.
Ответ: 124.
Ответ: 124
17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл
В равнобедренной трапеции ABCD угол D равен 64°. Найдите градусную меру угла ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD.
Чертёж
Решение
Угол A равен 180° - 64° = 116°.
Так как AC — биссектриса, ∠CAD = 116° / 2 = 58°.
В треугольнике ACD: ∠ACD = 180° - 58° - 64° = 58°.
Ответ: 58.
Ответ: 58
18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.
Чертёж
Решение
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
По клеткам диагонали равны 10 и 4.
S = 10 · 4 / 2 = 20.
Ответ: 20.
Ответ: 20
19 Анализ геометрических высказываний 1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
2
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
3
Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Неверно: отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.
2) Верно.
3) Неверно.
Ответ: 2.
Ответ: 2
20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла
Найдите значение выражения \(a-21b+22\), если \(\dfrac{8a-3b+8}{3a-8b+8}=3\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(a-21b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(8a-3b+8 = 3(3a-8b+8)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(8a-3b+8 = 9a-24b+24\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = a-21b+16\), откуда \(a-21b = -16\).
Шаг 4. Вычисляем: \(a-21b+22 = -16+22 = 6\).
Ответ: 6.
Правильный ответ: 6
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21 Текстовые задачи 2 балла
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 84 км/ч, а вторую — со скоростью 108 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.
Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/84 ч.
Шаг 2. Время на второй половине: S/108 ч.
Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/84 + S/108) = 2 / (\(\frac{1}{84}\) + 1/108).
Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·84·108 / (84 + 108) = 18144 / 192 = 94,5 км/ч.
Ответ: 94,5.
Правильный ответ: 94,5
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2-10x+27,& x\ge 4,\\x,& x<4.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
График функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {2}∪(3;4).
Ответ: {2}∪(3;4).
Правильный ответ: {2}∪(3;4)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 15, а сторона BC в 3 раза меньше стороны AB.

✏ Выполни решение на бумаге
Идея: △AKP ∼ △ABC (вписанные углы на одной дуге), коэффициент подобия AP/AC.
Шаг 1. Угол A общий; ∠APK = ∠ACB (вписанные, дуга BK). По двум углам △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. KP/BC = AP/AB.
По условию BC в 3 раза меньше AB, то есть AB = 3·BC.
KP = AP · BC/AB = AP / 3 = 15 / 3 = 5.
Ответ: 5.
Правильный ответ: 5
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка N — середина стороны CD. Докажите, что BN — биссектриса угла ABC.

✏ Выполни решение на бумаге
Идея: доказать равнобедренность треугольника внутри параллелограмма.
Шаг 1. CD = 2·BC (по условию), N — середина CD.
Значит CD/2 = BC/2 ... нет: CD = CD, CD/2 = BC.
Шаг 2. В параллелограмме BC ∥ смежной стороне, поэтому в треугольнике,
образованном BN и соседними сторонами, два угла при основании равны.
(Накрест лежащие углы при параллельных прямых.)
Шаг 3. Равенство двух углов ⟹ равнобедренность ⟹ BN — биссектриса угла ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 36 и 12, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 13.

✏ Выполни решение на бумаге
Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.
Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.
CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).
Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:
AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 13² = 169, AD·BC = 36·12 = 432.
Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:
R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.
Вычисление: R = 13.
Ответ: 13.
Правильный ответ: 13
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта