Загрузка заданий...
Вариант 11 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 17.05.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Володя летом отдыхает у дедушки в деревне Ёлочки. В воскресенье они собираются съездить на машине в село Кленовое в село. Из деревн Ёлочки в село Кленовое можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Сосенки до деревню Жуки, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Кленовое. Есть и третий маршрут: в деревню Сосенки можно свернуть на прямую грунтовую дорогу в село Кленовое, которая идёт мимо пруда. Шоссе и грунтовые дороги образуют с шоссе прямоугольные треугольники.
По шоссе Володя с дедушкой едут со скоростью 80 км/ч, а по грунтовой дороге — 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 4 км.
По шоссе Володя с дедушкой едут со скоростью 80 км/ч, а по грунтовой дороге — 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 4 км.
1
Задание 1
1 балл
Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Населённые пункты | Жуки | Кленовое | Сосенки |
|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
По описанию восстанавливаем маршруты на плане.
Точка отправления Ёлочки, промежуточная деревня на прямом шоссе — Сосенки, место поворота на другое шоссе — Жуки, конечный пункт — Кленовое.
Получаем соответствие: Ёлочки — 4, Сосенки — 2, Жуки — 3, Кленовое — 1.
В таблице населённые пункты стоят в порядке: Жуки, Кленовое, Сосенки.
Следовательно, ответ: 312.
Точка отправления Ёлочки, промежуточная деревня на прямом шоссе — Сосенки, место поворота на другое шоссе — Жуки, конечный пункт — Кленовое.
Получаем соответствие: Ёлочки — 4, Сосенки — 2, Жуки — 3, Кленовое — 1.
В таблице населённые пункты стоят в порядке: Жуки, Кленовое, Сосенки.
Следовательно, ответ: 312.
Ответ: 312
2
Задание 2
1 балл
Сколько километров проедут Володя с дедушкой от деревне Ёлочки до село Кленовое, если они поедут по шоссе через деревню Жуки?
Решение
По шоссе путь состоит из двух участков: от Ёлочки до Жуки и от Жуки до Кленовое.
От Ёлочки до Жуки: 16 клеток · 4 км = 64 км.
От Жуки до Кленовое: 12 клеток · 4 км = 48 км.
Складываем: 64 + 48 = 112 км.
Ответ: 112.
От Ёлочки до Жуки: 16 клеток · 4 км = 64 км.
От Жуки до Кленовое: 12 клеток · 4 км = 48 км.
Складываем: 64 + 48 = 112 км.
Ответ: 112.
Ответ: 112
3
Задание 3
1 балл
Найдите расстояние от деревне Ёлочки до село Кленовое по прямой. Ответ дайте в километрах.
Решение
Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.
Значит, катеты равны 48 км и 64 км.
Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 80 км.
Ответ: 80.
Значит, катеты равны 48 км и 64 км.
Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 80 км.
Ответ: 80.
Ответ: 80
4
Задание 4
1 балл
Сколько минут затратят на дорогу из деревне Ёлочки в село Кленовое Володя с дедушкой, если они поедут по прямой грунтовой дороге?
Решение
По прямой расстояние равно 80 км.
Скорость по грунтовой дороге — 40 км/ч.
Время = расстояние / скорость = 80 / 40 ч.
В минутах это 120 мин, то есть 120,0 мин.
Ответ: 120,0.
Скорость по грунтовой дороге — 40 км/ч.
Время = расстояние / скорость = 80 / 40 ч.
В минутах это 120 мин, то есть 120,0 мин.
Ответ: 120,0.
Ответ: 120,0
5
Задание 5
1 балл
| Наименование продукта | Ёлочки | Кленовое | Сосенки | Жуки |
|---|---|---|---|---|
| Молоко (1 л) | 47 | 36 | 45 | 40 |
| Хлеб (1 батон) | 31 | 28 | 32 | 25 |
| Сыр «Российский» (1 кг) | 274 | 265 | 264 | 275 |
| Говядина (1 кг) | 297 | 292 | 297 | 301 |
| Картофель (1 кг) | 31 | 17 | 29 | 17 |
В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Ёлочки, село Кленовое, деревню Сосенки и деревню Жуки. Володя с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.
Решение
Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:
Ёлочки: 2·47=94 + 3·31=93 + 2·297=594 + 4·31=124 + 1·274=274 = 1 179
Кленовое: 2·36=72 + 3·28=84 + 2·292=584 + 4·17=68 + 1·265=265 = 1 073
Сосенки: 2·45=90 + 3·32=96 + 2·297=594 + 4·29=116 + 1·264=264 = 1 160
Жуки: 2·40=80 + 3·25=75 + 2·301=602 + 4·17=68 + 1·275=275 = 1 100
Самая маленькая стоимость получается в магазине "Кленовое": 1 073 руб.
Ответ: 1 073.
Ёлочки: 2·47=94 + 3·31=93 + 2·297=594 + 4·31=124 + 1·274=274 = 1 179
Кленовое: 2·36=72 + 3·28=84 + 2·292=584 + 4·17=68 + 1·265=265 = 1 073
Сосенки: 2·45=90 + 3·32=96 + 2·297=594 + 4·29=116 + 1·264=264 = 1 160
Жуки: 2·40=80 + 3·25=75 + 2·301=602 + 4·17=68 + 1·275=275 = 1 100
Самая маленькая стоимость получается в магазине "Кленовое": 1 073 руб.
Ответ: 1 073.
Ответ: 1073
6
Задание 6
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{7}{5} - \frac{1}{6} : \frac{1}{12}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{7}{5} - \frac{1}{6} : \frac{1}{12}\).
Последовательно выполняем действия (вычитание, деление):
Шаг 1: \((\frac{7}{5}) - \frac{1}{6} = \frac{37}{30}\).
Шаг 2: \((\frac{37}{30}) : \frac{1}{12} = \frac{74}{5}\).
Получили дробь \(\frac{74}{5}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(14,8\).
Ответ: \(14,8\).
Последовательно выполняем действия (вычитание, деление):
Шаг 1: \((\frac{7}{5}) - \frac{1}{6} = \frac{37}{30}\).
Шаг 2: \((\frac{37}{30}) : \frac{1}{12} = \frac{74}{5}\).
Получили дробь \(\frac{74}{5}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(14,8\).
Ответ: \(14,8\).
Ответ: 14,8
7
Задание 7
1 балл
Одно из чисел $\frac{13}{15}$, 1,224, $\frac{\sqrt{10}}{2}$, $\sqrt{20}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 0 и 1.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) $\frac{13}{15}$ ≈ 0,8667
2) 1,224 ≈ 1,224
3) $\frac{\sqrt{10}}{2}$ ≈ 1,5811
4) $\sqrt{20}$ ≈ 4,4721
Точке A соответствует вариант 1.
Правильный ответ: 1.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) $\frac{13}{15}$ ≈ 0,8667
2) 1,224 ≈ 1,224
3) $\frac{\sqrt{10}}{2}$ ≈ 1,5811
4) $\sqrt{20}$ ≈ 4,4721
Точке A соответствует вариант 1.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Задание 8
1 балл
Найдите значение выражения $$5\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{10} \cdot \sqrt{60}$$
Решение
Вычислим выражение: 5√6 · 3√10 · √60.
Перемножим коэффициенты: 5 · 3 = 15.
Подкоренные выражения дают: √6 · √10 · √60 = √(6·10·60) = √(3600) = 60.
Тогда всё выражение равно 15 · 60 = 900.
Ответ: 900.
Перемножим коэффициенты: 5 · 3 = 15.
Подкоренные выражения дают: √6 · √10 · √60 = √(6·10·60) = √(3600) = 60.
Тогда всё выражение равно 15 · 60 = 900.
Ответ: 900.
Ответ: 900
9
Уравнения
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -x + 6y = -7 \\ x - 7y = 9 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
-x + 6y = -7
x - 7y = 9
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 1, а второе — на -1.
Получим:
(-x + 6y = -7) \cdot 1: -1x + 6y = -7
(x - 7y = 9) \cdot -1: -1x + 7y = -9
Вычтем второе уравнение из первого:
-1y = 2
y = 2 / -1 = -2
Подставим y = -2 в первое уравнение:
-x + 6y = -7
Получаем x = -5.
Ответ: (-5;-2)
-x + 6y = -7
x - 7y = 9
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 1, а второе — на -1.
Получим:
(-x + 6y = -7) \cdot 1: -1x + 6y = -7
(x - 7y = 9) \cdot -1: -1x + 7y = -9
Вычтем второе уравнение из первого:
-1y = 2
y = 2 / -1 = -2
Подставим y = -2 в первое уравнение:
-x + 6y = -7
Получаем x = -5.
Ответ: (-5;-2)
Ответ: -5;-2
10
Задание 10
1 балл
В среднем из 125 карманных фонариков, поступивших в продажу, 102 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 125.
Благоприятных исходов: 23 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 23/125 = 0,184.
Ответ: 0,184.
Благоприятных исходов: 23 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 23/125 = 0,184.
Ответ: 0,184.
Ответ: 0,184
11
Задание 11
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) y = √x
Б) y = -1x² - 2
В) y = -2x - 4
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.
Ответ: 132
12
Задание 12
1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 20 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Подставим C = 0,0001 и U = 20 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0001·20² / 2 = 0,02.
Ответ: 0,02.
W = 0,0001·20² / 2 = 0,02.
Ответ: 0,02.
Ответ: 0,02
13
Задание 13
1 балл
Укажите решение неравенства:
-x + 3 < -3x - 2
Решение
Решим неравенство: -x + 3 < -3x - 2.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 2x < -5.
Делим обе части на 2: x < -2,5.
Значит, x меньше -2,5.
Этому соответствует промежуток (-∞;-2,5).
Правильный ответ: 3.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 2x < -5.
Делим обе части на 2: x < -2,5.
Значит, x меньше -2,5.
Этому соответствует промежуток (-∞;-2,5).
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
14
Задание 14
1 балл
В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 24 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 24, d = 3.
Найдём 8-й член: a8 = a₁ + (8 - 1)·d = 24 + 7·3 = 45.
Ответ: 45.
Найдём 8-й член: a8 = a₁ + (8 - 1)·d = 24 + 7·3 = 45.
Ответ: 45.
Ответ: 45
15
Задание 15
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 7/12, BC = 48. Найдите AC.
Решение
В прямоугольном треугольнике tg B = AC / BC.\nЗначит, AC = BC · tg B = 48 · 7/12 = 28.\nОтвет: 28.
Ответ: 28
16
Задание 16
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 45°, AB = 8√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение
По теореме синусов AB = 2R·sin C.\nСледовательно, R = AB / (2 sin 45°).\nПодстановка даёт R = 8.\nОтвет: 8.
Ответ: 8
17
Задание 17
1 балл
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 40°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
Решение
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.\nВ этой конфигурации данный угол равен половине острого угла ромба.\nСледовательно, острый угол равен 2 · 40° = 80°.\nОтвет: 80.
Ответ: 80
18
Задание 18
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 5 и 12.\nИщем расстояние по теореме Пифагора.\nd = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13.\nОтвет: 13.
Ответ: 13
19
Задание 19
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Верно.
Ответ: 23.
2) Верно.
3) Верно.
Ответ: 23.
Ответ: 23
20
Задание 20
2 балла
Решите неравенство: \((5-x)(x^2-25)\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
\(x^2-25=(x-5)(x+5)\), а \(5-x=-(x-5)\).
Имеем \(-(x-5)^2(x+5)\ge 0\), то есть \((x-5)^2(x+5)\le 0\).
Отсюда \(x\le -5\) или \(x=5\).
Ответ: \((-\infty;\ -5]\cup\{5\}\).
Имеем \(-(x-5)^2(x+5)\ge 0\), то есть \((x-5)^2(x+5)\le 0\).
Отсюда \(x\le -5\) или \(x=5\).
Ответ: \((-\infty;\ -5]\cup\{5\}\).
Правильный ответ: (-∞; -5]∪{5}
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
21. Текстовые задачи
2 балла
Проценты, смеси и сплавы
Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 40% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 37% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в втором растворе?
✏ Выполни решение на бумаге
Пусть концентрации кислоты в первом и втором растворах равны x и y. Тогда при смешивании всех растворов получаем уравнение: 30x + 42y = 72 · 0.4. Если слить равные массы, средняя концентрация равна 37%, поэтому (x + y) / 2 = 0.37. Решая систему, получаем количество кислоты в втором растворе: 23,1 кг. Ответ: 23,1.
Правильный ответ: 23,1
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
22. Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции
\[y=\dfrac{(1/2x^2+2x)|x|}{x+4}\]
Определите, при каких значениях m прямая \(y=m\) не имеет с графиком ни одной общей точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Числитель содержит множитель x+4, поэтому при x ≠ -4 функция упрощается до y = 1/2x|x|. Но точка x = -4 исключена из области определения. Соответствующее значение y равно 1/2·(-4)·|-4| = -8. Поэтому прямая y = -8 не имеет общих точек с графиком. Ответ: -8.
Правильный ответ: -8
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
23. Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба.
✏ Выполни решение на бумаге
Точка пересечения диагоналей ромба является центром вписанной окружности, поэтому данное расстояние равно радиусу вписанной окружности r. В этой серии задач диагональ равна 4r: 72 = 4·18. Такое соотношение соответствует ромбу с углами 60° и 120°. Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.
Правильный ответ: 60°, 60°, 120°, 120°
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
24. Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Так как AA₁ ⟂ BC и BB₁ ⟂ AC, углы AA₁B₁ и ABB₁ можно рассматривать как углы между соответственно перпендикулярными прямыми. Следовательно, эти углы равны.
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
25. Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 36, AC = 54, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Используем свойство описанной окружности и условие BD ⟂ AO. Из подобия возникающих треугольников получаем AD = AB²/AC, значит CD = AC − AD = AC − AB²/AC. CD = 54 − 36²/54 = 30. Ответ: 30.
Правильный ответ: 30
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: