Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 13.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1Задание 11 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A1, A2 и A4.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A1, A2, A4.
Номер листа
Длина (мм)
Ширина (мм)
1
841
594
2
1189
841
3
297
210
4
594
420
Решение
A0 — 1189 × 841 мм, это №2. A1 — 841 × 594 мм, это №1. A2 — 594 × 420 мм, это №4. A4 — 297 × 210 мм, это №3. Ответ: 2143.
Ответ: 2143
2Задание 21 балл
Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A2?
Решение
Из A2 получают два листа A3, а из каждого A3 — два листа A4. Всего 2 · 2 = 4 листа A4. Ответ: 4.
Ответ: 4
3Задание 31 балл
Найдите ширину листа бумаги формата A0. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A0 имеет размеры примерно 1189 × 841 мм. Ширина равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.
Ответ: 840
4Задание 41 балл
Найдите отношение длины меньшей стороны листа формата A4 к большей. Ответ округлите до десятых.
Решение
Размер A4: 297 × 210 мм. Отношение меньшей стороны к большей: 210 : 297 ≈ 0,707. Округляем до десятых: 0,7. Ответ: 0,7.
Ответ: 0.7
5Задание 51 балл
Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A3 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 15 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.
Решение
При переходе от A4 к A3 линейные размеры увеличиваются примерно в √2 раза. Поэтому размер шрифта: 15 · √2 ≈ 21,2. Округляем до целого: 21. Ответ: 21.
Ответ: 21
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
На экзамене 25 билетов, Саша не выучил 6 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 25.
Благоприятных исходов: 19 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{19}{25}\) = 0,76.
Ответ: 0,76.
Ответ: 0,76
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) y = -1x² + 5
Б) y = -0.75x - 1
В) y = -12/x
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.
Ответ: 321
12Расчёты по формулам1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1600 кг обладает кинетической энергией 20 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 20·1000 = 20 000 Дж.
v = √(2·20 000/1600) = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 1)(x - 2) > 0
1
[-1;+∞)
2
(-∞;-1) ∪ (2;+∞)
3
(-1;2)
4
(-∞;-1] ∪ [2;+∞)
Решение
Нули выражения: x = -1 и x = 2. На числовой прямой отмечаем точки -1 и 2 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 1)(x - 2) > 0 получаем решение (-∞;-1) ∪ (2;+∞). Это вариант 2.
Ответ: 2
14Задачи на прогрессии1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 6,3 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 10 см?
Решение
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 6,3 м, q = \(\frac{1}{2}\).
Пороговая высота равна 10 см = 0,1 м.
После 6-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 7-го прыжка уже меньше.
Ответ: 7.
Ответ: 7
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике два угла равны 58° и 92°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
Решение
Сумма углов треугольника равна 180°.
Третий угол равен 180° - 58° - 92° = 30°.
Ответ: 30.
Ответ: 30
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 153°. Ответ дайте в градусах.
Решение
Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен половине центрального угла.
Поэтому ∠ACB = ∠AOB / 2 = 153° / 2 = 76,5°.
Ответ: 76,5.
Ответ: 76,5
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Диагональ AC ромба ABCD равна 40, а tg ∠BCA = 0,1. Найдите площадь ромба.
Решение
В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.
Поэтому tg ∠BCA = BO / CO = BD / AC.
Следовательно, BD = AC · tg ∠BCA = 40 · 0,1 = 4.
S = AC · BD / 2 = 40 · 4 / 2 = 80.
Ответ: 80.
Ответ: 80
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 3 и 4.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Все хорды одной окружности равны между собой.
2
Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равных треугольника.
3
Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Неверно.
2) Неверно.
3) Верно: сумма углов любого треугольника равна 180°.
Ответ: 3.
Ответ: 3
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}4x^2-3x=y,\\8x-6=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: оба выражения равны \(y\) — приравниваем их.
Шаг 1. \(4x^2-3x=8x-6\).
Шаг 2. Переносим влево: \(4x^2-11x+6=0\).
Шаг 3. Разложим: \((4x-3)(x-2)=0\).
Корни: \(x=\dfrac{3}{4}\) или \(x=2\).
Шаг 4. Находим \(y\):
При \(x=\dfrac{3}{4}\): \(y=8\cdot\dfrac{3}{4}-6=0\).
Свежие фрукты содержат 82% воды, а высушенные — 29%. Сколько сухих фруктов получится из 284 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 82% воды, значит сухого вещества 18%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 284 кг свежих фруктов:
284 · 18/100 = 51,12 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 29% воды, значит сухого вещества 71%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,71·x = 51,12.
x = 51,12 / 0,71 = 72 кг.
Ответ: 72.
Правильный ответ: 72
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 8|x| - 2\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 8x - 2.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 8x - 2.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -2. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -2.
Проверка: при m = -2 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.
Ответ: -2.
Правильный ответ: -2
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 42, BC = 15, CF : DF = 7 : 2.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.
Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 7:2 (от C).
Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 7:2 (из подобия трапеций).
Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении p:q. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как p:q.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы O₁A и O₂B к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ O₁A ∥ O₂B.
Шаг 2. В треугольниках TO₁A и TO₂B (T — точка на O₁O₂):
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.
Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 3 (радиус вписанной окружности).
Шаг 2. dist(O, AD) = 4. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.
dist(O, AB) = r = 3 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).
Шаг 3. OA = 5 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:
