Загрузка заданий...

Вариант 1164 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 13.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	жилой дом	яблони	теплица	гараж
Цифры

Решение

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, яблони — 3, теплица — 5, гараж — 2.

В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, яблони, теплица, гараж.

Получаем последовательность: 7352.

Ответ: 7352

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?

Решение

На все дорожки нужно 25 плиток.

В одной упаковке 6 плиток, поэтому потребуется ⌈25 / 6⌉ = 5 упаковок.

Ответ: 5.

Ответ: 5

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь, которую занимает баня. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Баня занимает 9 клеток. Площадь одной клетки равна 2 · 2 = 4 кв. м. Значит площадь бани: 9 · 4 = 36 кв. м.

Ответ: 36.

Ответ: 36

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь, которую занимает теплица, меньше площади, которую занимает гараж?

Решение

Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью гаража: (48 - 12) / 48 · 100% = 75%.

Ответ: 75.

Ответ: 75

5 Задание 5 1 балл

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	25 000 руб.	17 552 руб.	1,3 куб. м/ч	5,2 руб./куб. м
Электр. отопление	21 000 руб.	15 000 руб.	5,2 кВт	4,1 руб./(кВт·ч)

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

Решение

Начальные расходы на газовое отопление: 42552 руб.

Начальные расходы на электрическое отопление: 36000 руб.

Разница в начальных расходах: 42552 - 36000 = 6552 руб.

Почасовая стоимость газового отопления: 1,3 · 5,2 = 6,76 руб./ч.

Почасовая стоимость электрического отопления: 5,2 · 4,1 = 21,32 руб./ч.

Экономия за час: 21,32 - 6,76 = 14,56 руб./ч.

Ищем время окупаемости: 6552 / 14,56 = 450.

Ответ: 450.

Ответ: 450

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$8,75 + 0,8 - \frac{1}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $8,75 + 0,8 - \frac{1}{5}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(8,75) + 0,8 = 9,55$.

Шаг 2: $(9,55) - \frac{1}{5} = 9,35$.

Получили результат $9,35$.

Ответ: $9,35$.

Ответ: 9,35

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

4 - a < 0

a < 4

$\frac{1}{a} < 0$

-a < -5

Решение

По чертежу видно, что 4 < a < 5.

Проверим варианты ответа:

1) 4 - a < 0 ⇔ a > 4 — верно.

2) a < 4 ⇔ a < 4 — неверно.

3) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

4) -a < -5 ⇔ a > 5 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$3^{1} \cdot (3^2)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 3^(1) · (3^2)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (3^2)^2 = 3^4.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 3^1 · 3^4 = 3^5.

Получаем 3^5 = 243.

Ответ: 243.

Ответ: 243

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 10x + 25 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² - 10x + 25 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -10, c = 25.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -10² - 4·1·25 = 0.

Так как D = 0, уравнение имеет один корень.

x = 10 / 2 = 5

Ответ: 5

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $A \cup \overline{B}$.

Решение

Всего исходов: 40. Вероятность события $A \cup \overline{B}$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=34/40=0,85$.

Ответ: 0,85

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

А) y = -2x - 4

Б) y = -0,5x

В) y = 2x - 2

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv²/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 2500 кг обладает кинетической энергией 180 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Решение

Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).

E = 180·1000 = 180 000 Дж.

v = √(2·180 000/2500) = 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 4)(x - 2) ≥ 0

(-∞;-4] ∪ [2;+∞)

(-4;2)

[-4;+∞)

[-4;2]

Решение

Нули выражения: x = -4 и x = 2. На числовой прямой отмечаем точки -4 и 2 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 4)(x - 2) >= 0 получаем решение (-∞;-4] ∪ [2;+∞). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 14 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 20 мест, а в девятом ряду 28 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение

Ряды образуют арифметическую прогрессию.

Разность прогрессии: d = (28 - 20) / (9 - 5) = 2.

Тогда первый ряд: a₁ = a5 - (5 - 1)·d = 20 - 4·2 = 12.

Последний ряд: a14 = a₁ + (14 - 1)·d = 12 + 13·2 = 38.

Ответ: 38.

Ответ: 38

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 11/8, BC = 24. Найдите AC.

Решение

В прямоугольном треугольнике tg B = AC / BC.

Значит, AC = BC · tg B = 24 · $\frac{11}{8}$ = 33.

Ответ: 33.

Ответ: 33

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB = 12, BC = 5, CD = 12. Найдите AD.

Решение

В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.

Для трапеции ABCD: AB + CD = AD + BC.

AD = AB + CD - BC = 12 + 12 - 5 = 19.

Ответ: 19.

Ответ: 19

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 45° и 25°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Диагональ AC делит угол A на два угла, равные данным значениям.

Следовательно, угол A равен 45° + 25° = 70°.

Больший угол параллелограмма равен 180° - 70° = 110°.

Ответ: 110.

Ответ: 110

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

По клеткам основание равно 10, высота равна 5.

S = 10 · 5 / 2 = 25.

Ответ: 25.

Ответ: 25

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все углы ромба равны.

Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно: все углы ромба равны только у квадрата.

2) Неверно: равенство соответствующих сторон четырёхугольников не гарантирует их равенство.

3) Верно: из точки вне окружности можно провести две касательные.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $50a-34b+37$, если $\dfrac{6a-8b+4}{8a-6b+4}=7$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $50a-34b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $6a-8b+4 = 7(8a-6b+4)$.

Шаг 2. Раскрываем: $6a-8b+4 = 56a-42b+28$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 50a-34b+24$, откуда $50a-34b = -24$.

Шаг 4. Вычисляем: $50a-34b+37 = -24+37 = 13$.

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Баржа прошла по течению реки 80 км и, повернув обратно, прошла ещё 60 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: скорость по течению = v + u, против = v − u; сумма времён двух участков = total.

Шаг 1. Пусть собственная скорость баржи равна x км/ч.

По течению: x + 5. Против течения: x − 5.

Шаг 2. Составляем уравнение на суммарное время:

80/(x + 5) + 60/(x − 5) = 10.

Шаг 3. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:

80(x−5) + 60(x+5) = 10(x²−25).

Шаг 4. Раскрываем и группируем: квадратное уравнение относительно x.

Шаг 5. Решение (положительный корень): x = 15.

Шаг 6. Проверка: $\frac{80}{20}$ = 4 ч, $\frac{60}{10}$ = 6 ч, сумма 10 ч. ✓

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 8|x| - 1\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 8x - 1.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 8x - 1.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -1. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -1.

Проверка: при m = -1 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.

Ответ: -1.

Правильный ответ: -1

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 15, а одна из диагоналей ромба равна 60. Найдите углы ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: центр ромба — центр вписанной окружности, расстояние до стороны = радиус r.

Шаг 1. Обозначим сторону ромба a, острый угол α.

Радиус вписанной окружности r = a·sin α, а половина диагонали d₁/2 = a·cos(α/2) = a·sin(90°−α/2).

Шаг 2. По условию r = 15, диагональ = 60 = 4r.

Значит диагональ = 4·15, то есть a·2·cos(α/2) = 4·a·sin α/2.

Упрощая: cos(α/2) = 2·sin(α/2)·cos(α/2) ⟹ 1 = 2·sin(α/2), sin(α/2) = $\frac{1}{2}$, α/2 = 30°, α = 60°.

Шаг 3. Острый угол = 60°, тупой угол = 120°.

Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.

Правильный ответ: 60°, 60°, 120°, 120°

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что ∠AA₁B₁ = ∠ABB₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁B = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AB виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AB.

Шаг 2. BB₁ — высота, поэтому ∠AB₁B = 90°. Значит и точка B₁ лежит на окружности с диаметром AB.

Шаг 3. Итак, точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁B₁ и ∠ABB₁ опираются на одну и ту же дугу AB₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Окружности радиусов 22 и 99 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.

Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=22 и R=99.

O₁O₂ = r + R = 121 (внешнее касание).

Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.

Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.

Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).

Аналогично CD ⊥ O₁O₂.

Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.

По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(99·22) = 2√2178 = 66√2.

Ответ: 66√2.

Правильный ответ: 66√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.