Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 13.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1Задание 11 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
Объекты
яблони
теплица
сарай
жилой дом
Цифры
Решение
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: яблони — 3, теплица — 5, сарай — 1, жилой дом — 7.
В таблице объекты стоят в порядке: яблони, теплица, сарай, жилой дом.
Получаем последовательность: 3517.
Ответ: 3517
2Задание 21 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?
Решение
На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.
В одной упаковке 8 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 8⌉ = 9 упаковок.
Ответ: 9.
Ответ: 9
3Задание 31 балл
Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.
Решение
Ближайшие точки жилого дома и гаража находятся на расстоянии 3 клеток по вертикали. Одна клетка соответствует 2 м, поэтому расстояние равно 3 · 2 = 6 м.
Ответ: 6.
Ответ: 6
4Задание 41 балл
Сколько процентов от площади всего огорода занимает теплица?
Решение
Площадь теплицы 12 кв. м, площадь огорода 120 кв. м. 12 / 120 · 100% = 10%.
Ответ: 10.
Ответ: 10
5Задание 51 балл
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице.
Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
Нагреватель (котёл)
Прочее оборудование и монтаж
Средн. расход газа / средн. мощность
Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление
18 000 руб.
13 896 руб.
1,6 куб. м/ч
4,7 руб./куб. м
Электр. отопление
15 000 руб.
9 000 руб.
4,7 кВт
4,4 руб./(кВт·ч)
Решение
Начальные расходы на газовое отопление: 31896 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 24000 руб.
Разница в начальных расходах: 31896 - 24000 = 7896 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,7 = 7,52 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 4,7 · 4,4 = 20,68 руб./ч.
Экономия за час: 20,68 - 7,52 = 13,16 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 7896 / 13,16 = 600.
Ответ: 600.
Ответ: 600
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} \cdot \frac{9}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{1} \cdot \frac{9}{2}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Домножим обе части на НОК знаменателей 2 и 2, то есть на 2.
Получим:
(6x - 9) - (8x - 7) + 16x = -128
Приведём подобные слагаемые:
14x - 2 = -128
Перенесём число в правую часть:
14x = -126
Разделим обе части на 14:
x = -126 / 14
x = -9
Ответ: -9
Ответ: -9
10Статистика, вероятности1 балл
В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 69 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 200.
Благоприятных исходов: 131 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 131/200 = 0,655.
Ответ: 0,655.
Ответ: 0,655
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c < 0
2) a > 0, c > 0
3) a < 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 231.
Ответ: 231
12Расчёты по формулам1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 40 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 2 744 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 2 744/(9,8·40) = 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
-2x - 10 < 8x - 3
1
(-∞;1,3)
2
(0;+∞)
3
(-0,7;+∞)
4
(0,7;+∞)
Решение
Решим неравенство: -2x - 10 < 8x - 3.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -10x > 7.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -10: x > -0,7.
Значит, x больше -0,7.
Этому соответствует промежуток (-0,7;+∞).
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
14Задачи на прогрессии1 балл
В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 20, d = 2, n = 15.
Сначала найдём последний ряд: a15 = 20 + (15 - 1)·2 = 48.
Сумма первых 15 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 15·(20 + 48)/2 = 510.
Ответ: 510.
Ответ: 510
15Треугольники и их элементы1 балл
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 15°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
Решение
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.
Другой острый угол равен 90° - 15° = 75°.
Ответ: 75.
Ответ: 75
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Сторона квадрата равна 46. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
Решение
Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.
Поэтому радиус равен половине стороны: r = 46 / 2 = 23.
Ответ: 23.
Ответ: 23
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Диагональ BD делит угол B на два данных угла.
Угол B равен 65° + 50° = 115°.
Тогда меньший угол параллелограмма равен 180° - 115° = 65°.
Ответ: 65.
Ответ: 65
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение
Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.
По клеткам их длины равны 6 и 6.
Большая диагональ равна 6.
Ответ: 6.
Ответ: 6
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
2
Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.
3
Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно: по определению окружности.
2) Неверно: площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Свежие фрукты содержат 79% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 288 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 79% воды, значит сухого вещества 21%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 288 кг свежих фруктов:
288 · 21/100 = 60,48 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 16% воды, значит сухого вещества 84%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,84·x = 60,48.
x = 60,48 / 0,84 = 72 кг.
Ответ: 72.
Правильный ответ: 72
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+4)((x+1))}{-1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=x^2+4,\ x\ne -1 \).
После преобразования получаем параболу \( y=x^2+a \) с выколотой точкой при \( x=-1 \).
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-4; 4; 5 \).
Ответ: \( -4; 4; 5 \).
Правильный ответ: -4; 4; 5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 12, а сторона AC в 1,2 раза больше стороны BC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: четыре точки K, P, B, C лежат на окружности — треугольники AKP и ABC подобны.
Шаг 1. Угол A общий для △AKP и △ABC.
∠AKP = ∠ABC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу KPBC).
По двум углам: △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. Коэффициент подобия = AK/AB = KP/BC.
По условию AC = 1,2·BC, поэтому AK/AC = KP/BC.
KP = AK · BC/AC = AK / 1,2 = 12 / 1,2 = 10.
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5 : 3, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 8.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла A делит высоту BH в отношении p:q → находим sin A → по теореме синусов R.
Шаг 1. Пусть BH — высота из B, биссектриса из A пересекает BH в точке F.
