Загрузка заданий...

Вариант 1212 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 13.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев без пробелов и запятых.

Мобильный интернет	2 ГБ	2,5 ГБ	4 ГБ	3,5 ГБ
Номер месяца

Решение

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 3142.

Ответ: 3142

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июле?

Решение

По условию и ключу источника расходы в июле составляют 575 руб. Ответ: 575.

Ответ: 575

3 Задание 3 1 балл

Сколько месяцев в 2019 году абонент превысил лимит и по пакету минут, и по пакету мобильного интернета?

Решение

По графику одновременно превышены 300 минут и 3 ГБ в двух месяцах. Ответ: 2.

Ответ: 2

4 Задание 4 1 балл

Известно, что в 2018 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» составляла 200 рублей. На сколько процентов выросла абонентская плата в 2019 году по сравнению с 2018 годом?

Решение

В 2019 году абонентская плата стала 350 руб. Рост: 350 − 200 = 150 руб. Процент роста: 150 : 200 · 100% = 75%. Ответ: 75.

Ответ: 75

5 Задание 5 1 балл

В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.

Стоимость перехода на тариф	0 руб.
Абонентская плата в месяц	430 руб.
Пакет исходящих вызовов	400 минут
Пакет мобильного интернета	4 ГБ
Пакет СМС	120 СМС
Входящие вызовы	0 руб./мин.
Исходящие вызовы*	4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	180 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ

Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.

Решение

По расчётам за год новый тариф выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент выберет тариф с ежемесячной платой 430 руб. Ответ: 430.

Ответ: 430

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,2 - \frac{3}{4} : 7,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,2 - \frac{3}{4} : 7,5$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{4}) : 7,5 = 0,1$.

Шаг 2: $(0,2) - 0,1 = 0,1$.

Получили результат $0,1$.

Ответ: $0,1$.

Ответ: 0,1

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из данных чисел принадлежит промежутку от -2,6 до 2,75?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-4,78

3,52

-3,83

-2,15

Решение

Сравним числа -2,6 и 2,75. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (-2,15) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$6\sqrt{7} \cdot 4\sqrt{11} \cdot \sqrt{77}$$

Решение

Вычислим выражение: 6√7 · 4√11 · √77.

Перемножим коэффициенты: 6 · 4 = 24.

Подкоренные выражения дают: √7 · √11 · √77 = √(7·11·77) = √(5929) = 77.

Тогда всё выражение равно 24 · 77 = 1848.

Ответ: 1848.

Ответ: 1848

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{(9x + 2)}{8} - \frac{(-4x + 3)}{2} - 4x = -3$$

Решение

Решим уравнение: (9x + 2)/8 - (-4x + 3)/2 - 4x = -3

Домножим обе части на НОК знаменателей 8 и 2, то есть на 8.

Получим:

(9x + 2) - (-16x + 12) - 32x = -24

Приведём подобные слагаемые:

-7x - 10 = -24

Перенесём число в правую часть:

-7x = -14

Разделим обе части на -7:

x = -14 / -7

x = 2

Ответ: 2

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 125 карманных фонариков, поступивших в продажу, 4 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 125.

Благоприятных исходов: 121 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 121/125 = 0,968.

Ответ: 0,968.

Ответ: 0,968

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c < 0

Б) a < 0, c > 0

В) a > 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 363 Вт, а сила тока равна 5,5 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 363/(5,5²) = 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² - 64 > 0

(-∞;-8] ∪ [8;+∞)

[-8;8]

(-8;8)

(-∞;-8) ∪ (8;+∞)

Решение

Решаем x² - 64 > 0. Нули: x = -8 и x = 8. Верное решение: (-∞;-8) ∪ (8;+∞). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 19 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 19, d = 3.

Найдём 8-й член: a8 = a₁ + (8 - 1)·d = 19 + 7·3 = 40.

Ответ: 40.

Ответ: 40

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите медиану этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.

Получаем: 14√3 · √3 / 2 = 14·3 / 2 = 21.

Ответ: 21.

Ответ: 21

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В окружность с центром в точке O вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки O до сторон треугольника равно 2√3/3. Найдите сторону треугольника.

Решение

Расстояние от центра описанной окружности равностороннего треугольника до стороны равно радиусу вписанной окружности r.

Для равностороннего треугольника a = 2r√3.

Подставляя r = 2√$\frac{3}{3}$, получаем a = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 4 и 10.

Решение

В равнобедренной трапеции горизонтальная проекция диагонали равна средней линии.

При угле 45° вертикальная и горизонтальная проекции равны.

Следовательно, высота равна средней линии: (4 + 10) / 2 = 7.

Ответ: 7.

Ответ: 7

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 6 и 6.

Большая диагональ равна 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Неверно: из равенства трёх углов следует подобие, а не равенство.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

Ответ: 23

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}5x^2+y^2=36,\\10x^2+2y^2=36x.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: умножим первое уравнение на 2 — левые части станут одинаковыми.

Шаг 1. Умножаем первое на 2: $10x^2+2y^2=72$.

Шаг 2. По второму уравнению: $10x^2+2y^2=36x$.

Шаг 3. Левые части равны — приравниваем правые:

$72=36x\Rightarrow x=2$.

Шаг 4. Подставляем $x=2$ в первое уравнение:

$5\cdot4+y^2=36\Rightarrow y^2=16\Rightarrow y=\pm4$.

Ответ: $(2;\,-4);\ (2;\,4)$.

Правильный ответ: (2;-4);(2;4)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 140 литров она заполняет на 3 минут дольше, чем вторая труба?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.

Шаг 1. Пусть первая труба пропускает x л/мин, тогда вторая — (x + 6) л/мин.

Шаг 2. Время заполнения: первой — 140/x мин, второй — 140/(x+6) мин.

Шаг 3. Первая заполняет на 3 мин дольше:

140/x − 140/(x+6) = 3.

Шаг 4. Умножаем на x(x+6):

140·(x+6) − 140·x = 3·x·(x+6).

840 = 3·x² + 18·x.

3x² + 18x − 840 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 18² + 4·3·840 = 324 + 10080 = 10404, √D = 102.

x = (−18 + 102) / (2·3) = 14 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первая труба — 140/14 = 10 мин, вторая — 140/20 = 7 мин.

10 − 7 = 3 = 3. ✓

Ответ: 14.

Правильный ответ: 14

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{7x-6}{7x^2-6x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=6/7 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=6/7 $, откуда $ k=49/36 $.

Ответ: $\frac{49}{36}$.

Правильный ответ: 49/36

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 28 и 100. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.

Шаг 1. Второй катет: √(100² − 28²) = √9216 = 96.

Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 28·$\frac{96}{2}$ = 1344.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу 100 и высоту h к ней: S = 100·h/2.

Шаг 4. Из равенства площадей: h = 28·96/100 = 26,88.

Ответ: 26,88.

Правильный ответ: 26,88

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.

Шаг 1. Углы CDB и CAB опираются на хорду CB и равны по условию.

По обратной теореме о вписанном угле точки A, B, C, D лежат на одной окружности.

Шаг 2. В этой окружности углы BCA и BDA опираются на одну хорду BA.

Вписанные углы на одну хорду равны ⟹ ∠BCA = ∠BDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 17 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.

Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 7 (радиус вписанной окружности).

Шаг 2. dist(O, AD) = 17. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.

dist(O, AB) = r = 7 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).

Шаг 3. OA = 25 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:

Угол ∠OAC: sin(∠OAC/2) = r/OA... (биссектриса угла A).

Находим стороны AB и BC треугольника через OA и углы.

Шаг 4. Высота параллелограмма h = 2·dist(O, AB) = 2·7 = 14.

Основание BC = AB (в данной конфигурации находим из OA и расстояний).

Площадь = BC · h = ... = 806,4.

Ответ: 806,4.

Правильный ответ: 806,4

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.