Загрузка заданий...

Вариант 1232 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 13.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев без пробелов и запятых.

Мобильный интернет	2 ГБ	2,5 ГБ	4 ГБ	3,5 ГБ
Номер месяца

Решение

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 3142.

Ответ: 3142

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июле?

Решение

По условию и ключу источника расходы в июле составляют 575 руб. Ответ: 575.

Ответ: 575

3 Задание 3 1 балл

Сколько месяцев в 2019 году абонент превысил лимит и по пакету минут, и по пакету мобильного интернета?

Решение

По графику одновременно превышены 300 минут и 3 ГБ в двух месяцах. Ответ: 2.

Ответ: 2

4 Задание 4 1 балл

Известно, что в 2018 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» составляла 200 рублей. На сколько процентов выросла абонентская плата в 2019 году по сравнению с 2018 годом?

Решение

В 2019 году абонентская плата стала 350 руб. Рост: 350 − 200 = 150 руб. Процент роста: 150 : 200 · 100% = 75%. Ответ: 75.

Ответ: 75

5 Задание 5 1 балл

В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.

Стоимость перехода на тариф	0 руб.
Абонентская плата в месяц	430 руб.
Пакет исходящих вызовов	400 минут
Пакет мобильного интернета	4 ГБ
Пакет СМС	120 СМС
Входящие вызовы	0 руб./мин.
Исходящие вызовы*	4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	180 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ

Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.

Решение

По расчётам за год новый тариф выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент выберет тариф с ежемесячной платой 430 руб. Ответ: 430.

Ответ: 430

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{5} + 0,35$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{5} + 0,35$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{5}) + 0,35 = 0,95$.

Получили результат $0,95$.

Ответ: $0,95$.

Ответ: 0,95

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из данных чисел принадлежит промежутку от $-\frac{5}{1}$ до $\frac{13}{8}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

2,75

$\frac{1}{10}$

$2\sqrt{3}$

3,95

Решение

Сравним числа $-\frac{5}{1}$ и $\frac{13}{8}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 ($\frac{1}{10}$) лежит между этими числами.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{18} + \sqrt{2})\sqrt{2}$$

Решение

Вычислим выражение: (√18 + √2)·√2.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √18 = 3√2, √2 = 1√2.

Тогда получаем (3√2 + 1√2)·√2 = 4√2·√2.

Так как √2·√2 = 2, имеем 4·2 = 8.

Ответ: 8.

Ответ: 8

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 10x + 25 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + 10x + 25 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 10, c = 25.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 10² - 4·1·25 = 0.

Так как D = 0, уравнение имеет один корень.

x = -10 / 2 = -5

Ответ: -5

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события B.

Решение

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,3.

Ответ: 0,3

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) y = -2x - 4

Б) y = -1x² - 2

В) y = √x

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 243 Вт, а сила тока равна 4,5 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 243/(4,5²) = 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 8)(x - 4) < 0

Решение

Нули выражения: x = -8 и x = 4. На числовой прямой отмечаем точки -8 и 4 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 8)(x - 4) < 0 получаем решение (-8;4). Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 12 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые четыре секунд?

Решение

Пройденные за секунды расстояния образуют арифметическую прогрессию: a₁ = 12, d = 10, n = 4.

Сумма первых 4 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 4(2·12 + 3·10)/2 = 108.

Ответ: 108.

Ответ: 108

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 29, а высота, проведённая к этой стороне, равна 23. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 29 · 23 = 667/2 = 333,5.

Ответ: 333,5.

Ответ: 333,5

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 11√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение

Для равностороннего треугольника r = a√3 / 6.

Значит, a = 2r√3 = 2 · 11√3 · √3 = 66.

Ответ: 66.

Ответ: 66

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Площадь параллелограмма равна 56, а две его стороны равны 7 и 28. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.

Решение

Высоты к сторонам a и b находятся из формул S = a·h₁ и S = b·h₂.

h₁ = 56 / 7 = 8, h₂ = 56 / 28 = 2.

Требуемая высота равна 2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 5 и 12.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13.

Ответ: 13.

Ответ: 13

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Верно.

3) Неверно.

Ответ: 12.

Ответ: 12

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x-2)^4-(x-2)^2-6=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=(x-2)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены:

$t^2-t-6=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t-3)(t+2)=0$.

Корни: $t_1=3$, $t_2=-2$.

Шаг 3. Берём только $t=3$.

Шаг 4. Решаем $(x-2)^2=3$:

$x-2=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=2\pm\sqrt{3}$.

Ответ: $2-\sqrt{3};\quad 2+\sqrt{3}$.

Правильный ответ: 2-√3;2+√3

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 216 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 9) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: вторым — 216/x ч, первым — 216/(x+9) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 4 ч больше:

216/x − 216/(x+9) = 4.

Шаг 4. Умножаем на x(x+9):

216·(x+9) − 216·x = 4·x·(x+9).

1944 = 4·x² + 36·x.

4x² + 36x − 1944 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1944 = 1296 + 31104 = 32400, √D = 180.

x = (−36 + 180) / (2·4) = 18 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: второй — 216/18 = 12 ч, первый — 216/27 = 8 ч.

12 − 8 = 4 = 4. ✓

Ответ: 18.

Правильный ответ: 18

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| + 10\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x + 10.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x + 10.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 10. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 10.

Проверка: при m = 10 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 75, а сторона BC в 3 раза меньше стороны AB.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: △AKP ∼ △ABC (вписанные углы на одной дуге), коэффициент подобия AP/AC.

Шаг 1. Угол A общий; ∠APK = ∠ACB (вписанные, дуга BK). По двум углам △AKP ∼ △ABC.

Шаг 2. KP/BC = AP/AB.

По условию BC в 3 раза меньше AB, то есть AB = 3·BC.

KP = AP · BC/AB = AP / 3 = 75 / 3 = 25.

Ответ: 25.

Правильный ответ: 25

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне BC. Докажите, что K — середина BC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы углов A и D перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.

Шаг 1. В параллелограмме ∠A + ∠D = 180° (смежные).

Биссектрисы делят углы пополам: ∠A/2 + ∠D/2 = 90°.

Значит в △K (треугольник при пересечении биссектрис) угол при K равен 90°.

Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла A.

Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),

значит расстояние от вершины до K равно половине смежной стороны.

Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем K — середина BC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 36 и 12, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 13.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.

Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.

CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).

Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:

AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 13² = 169, AD·BC = 36·12 = 432.

Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:

R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.

Вычисление: R = 13.

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.