Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
Исходящие вызовы
3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
90 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1Задание 11 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев без пробелов и запятых.
Мобильный интернет
2 ГБ
2,5 ГБ
4 ГБ
3,5 ГБ
Номер месяца
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 3142.
Ответ: 3142
2Задание 21 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июле?
Решение
По условию и ключу источника расходы в июле составляют 575 руб. Ответ: 575.
Ответ: 575
3Задание 31 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент превысил лимит и по пакету минут, и по пакету мобильного интернета?
Решение
По графику одновременно превышены 300 минут и 3 ГБ в двух месяцах. Ответ: 2.
Ответ: 2
4Задание 41 балл
Известно, что в 2018 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» составляла 200 рублей. На сколько процентов выросла абонентская плата в 2019 году по сравнению с 2018 годом?
Решение
В 2019 году абонентская плата стала 350 руб. Рост: 350 − 200 = 150 руб. Процент роста: 150 : 200 · 100% = 75%. Ответ: 75.
Ответ: 75
5Задание 51 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
Стоимость перехода на тариф
0 руб.
Абонентская плата в месяц
430 руб.
Пакет исходящих вызовов
400 минут
Пакет мобильного интернета
4 ГБ
Пакет СМС
120 СМС
Входящие вызовы
0 руб./мин.
Исходящие вызовы*
4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
180 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
По расчётам за год новый тариф выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент выберет тариф с ежемесячной платой 430 руб. Ответ: 430.
Ответ: 430
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$4 : 0,8$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(4 : 0,8\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((4) : 0,8 = 5\).
Ответ: \(5\).
Ответ: 5
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Укажите число, которое больше -4,625, но меньше -3,75.
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
-4,55
2
0,64
3
\(\frac{1}{1}\)
4
3,675
Решение
Сравним числа -4,625 и -3,75. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (-4,55) лежит между этими числами.
Ответ: 1
Ответ: 1
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{20}$$
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -8, а второе — на 3.
Получим:
\((3x - 3y = 39) \cdot -8\): -24x + 24y = -312
\((-8x + 6y = -90) \cdot 3\): -24x + 18y = -270
Вычтем второе уравнение из первого:
6y = -42
y = -42 / 6 = -7
Подставим y = -7 в первое уравнение:
3x - 3y = 39
Получаем x = 6.
Ответ: (6;-7)
Ответ: 6;-7
10Статистика, вероятности1 балл
В среднем из 80 карманных фонариков, поступивших в продажу, 12 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 80.
Благоприятных исходов: 68 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{68}{80}\) = 0,85.
Ответ: 0,85.
Ответ: 0,85
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции
А) \(y = -3x + 2\)
Б) \(y = \dfrac{1}{2}x - 4\)
В) \(y = 2x + 4\)
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 213.
Ответ: 213
12Расчёты по формулам1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 85,75 Вт, а сила тока равна 3,5 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 85,75/(3,5²) = 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
-2x + 5 ≤ 4x - 7
1
(-∞;-2]
2
[2;+∞)
3
[0;+∞)
4
(-∞;2]
Решение
Решим неравенство: -2x + 5 <= 4x - 7.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -6x >= -12.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -6: x >= 2.
Значит, x больше или равно 2.
Этому соответствует промежуток [2;+∞).
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14Задачи на прогрессии1 балл
При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 7° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 9 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -6° C.
Решение
Температура уменьшается равномерно на 7° C в минуту.
Через 9 минут изменение составит 7·9 = 63° C.
Итоговая температура: -6 - 63 = -69.
Ответ: -69.
Ответ: -69
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 124°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как AB = BC, треугольник равнобедренный, а углы при основании равны.
Сумма углов при основании равна 180° - 124° = 56°.
Каждый из них равен 56° : 2 = 28°.
Ответ: 28.
Ответ: 28
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 16.
Решение
Если квадрат описан около окружности, то сторона квадрата равна диаметру окружности.
a = 2r = 2 · 16 = 32.
S = a² = 32² = 1024.
Ответ: 1024.
Ответ: 1024
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Периметр ромба равен 56, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.
Решение
Сторона ромба равна 56 / 4 = 14.
Площадь ромба равна a²·sin α.
S = 14² · sin 30° = 14² · \(\frac{1}{2}\) = 98.
Ответ: 98.
Ответ: 98
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Решение
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
По клеткам основания равны 6 и 8.
m = (6 + 8) / 2 = 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
2
Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
3
Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Верно: площадь квадрата равна a·a = a².
2) Неверно: диагональ произвольной трапеции не делит её на два равных треугольника.
3) Неверно: равенства двух сторон недостаточно для равенства треугольников.
Ответ: 1.
Ответ: 1
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите неравенство: \((x-4)^2<\sqrt{6}(x-4)\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перенести правую часть влево и вынести \((x-4)\).
Свежие фрукты содержат 78% воды, а высушенные — 17%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 44 кг высушенных фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 17% воды, значит сухого вещества 83%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 44 кг сухих фруктов:
44 · 83/100 = 36,52 кг.
Шаг 3. Свежие фрукты содержат 78% воды, значит сухого вещества 22%.
Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,22·x = 36,52.
x = 36,52 / 0,22 = 166 кг.
Ответ: 166.
Правильный ответ: 166
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| + 9\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x + 9.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x + 9.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 9. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 9.
Проверка: при m = 9 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: 9.
Правильный ответ: 9
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 30, CD = 40, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 20.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 20, полухорда = AB/2 = 15.
R² = 20² + 15² = 400 + 225 = 625. R = 25.
Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 20.
d² = R² − 20² = 625 − 400 = 225. d = 15.
Ответ: 15.
Правильный ответ: 15
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые IJ и AB перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. IA = IB (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка I равноудалена от A и B
⟹ I лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
Шаг 2. JA = JB (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка J тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая IJ совпадает с серединным перпендикуляром к AB.
Следовательно, IJ ⟂ AB. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 8, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 129° и 96°.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.
Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.
