Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 265/70 R17.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 20 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 275.
Ответ: 275
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 195/60 R16?
Решение
В маркировке 195/60 R16 ширина шины равна 195 мм, а высота боковины составляет 60% от ширины. H = 195 · 60 / 100 = 117 мм. Ответ: 117.
Ответ: 117
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 275/55 R20?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 265/70 R17 и нового колеса 275/55 R20. Ответ: 7.7.
Ответ: 7.7
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 265/70 R17 получаем диаметр 802.8 мм. Ответ: 802.8.
Ответ: 802.8
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 275/70 R17? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 265/70 R17 и колеса 275/70 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.7.
Ответ: 1.7
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$1 + 0,025$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(1 + 0,025\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((1) + 0,025 = 1,025\).
Ответ: \(1,025\).
Ответ: 1,025
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу -0,078. Какая это точка?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
A
2
B
3
C
4
D
Решение
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число -0,078 по своему значению совпадает с точкой A.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{8} - 5)(\sqrt{8} + 5)$$
Решение
Вычислим выражение: (√8 - 5)(√8 + 5).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√8)² - 5² = 8 - 25 = -17.
Ответ: -17.
Ответ: -17
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Решите уравнение: 3 + 3(-4x + 5) = 8x + 118
Решение
Решим уравнение: 3 + 3(-4x + 5) = 8x + 118
Раскроем скобки:
3 + 3(-4x + 5) = 8x + 118
3 - 12x + 15 = 8x + 118
Приведём подобные слагаемые в левой части:
-12x + 18 = 8x + 118
Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:
-20x = 100
Разделим обе части на -20:
x = 100 / -20
x = -5
Ответ: -5
Ответ: -5
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события A.
Решение
Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.
Получаем 0,3.
Ответ: 0,3
Ответ: 0,3
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.
Коэффициенты
А) k < 0, b < 0
Б) k < 0, b > 0
В) k > 0, b > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 321.
Ответ: 321
12Расчёты по формулам1 балл
Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле a = ω2R, где ω – угловая скорость (в с-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 7,5 с-1, а центростремительное ускорение равно 168,75 м/с2. Ответ дайте в метрах.
Решение
Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².
R = 168,75/(7,5²) = 3.
Ответ: 3.
Ответ: 3
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} x + 0,5 < -3,5 \\ x − 1,8 \geqslant -1,9 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 3.
Ответ: 3
14Задачи на прогрессии1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 16 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 80 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 16, q = 3.
За 80 минут пройдёт 4 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 16·3^4 = 1296 мг.
Ответ: 1296.
Ответ: 1296
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 7, AB = 25. Найдите sin B.
Решение
В прямоугольном треугольнике sin острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Для угла B противолежащий катет — AC, гипотенуза — AB.
sin B = AC / AB = \(\frac{7}{25}\) = 0,28.
Ответ: 0,28.
Ответ: 0,28
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 28. Найдите высоту этой трапеции.
Решение
Окружность касается обоих оснований трапеции.
Расстояние между основаниями равно сумме расстояний от центра окружности до каждого основания, то есть двум радиусам.
h = 2r = 2 · 28 = 56.
Ответ: 56.
Ответ: 56
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.
Решение
При угле 45° высота равна половине разности оснований.
h = (9 - 2) / 2 = 3,5.
S = (2 + 9) / 2 · 3,5 = 19,25.
Ответ: 19,25.
Ответ: 19,25
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 10 и 5.
Искомое отношение площадей равно (10 / 5)² = 4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
2
Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
3
В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Верно.
2) Неверно.
3) Неверно.
Ответ: 1.
Ответ: 1
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите уравнение: \((x+2)^4+(x+2)^2-12=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=(x+2)^2\ge0\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2+t-12=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t+4)(t-3)=0\).
Корни: \(t_1=-4\), \(t_2=3\).
Шаг 3. Берём только \(t=3\) (так как \(t\ge0\)).
Шаг 4. Решаем \((x+2)^2=3\):
\(x+2=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=-2\pm\sqrt{3}\).
Ответ: \(-2-\sqrt{3};\quad -2+\sqrt{3}\).
Правильный ответ: -2-√3;-2+√3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 78% воды, а высушенные — 17%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 44 кг высушенных фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 17% воды, значит сухого вещества 83%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 44 кг сухих фруктов:
44 · 83/100 = 36,52 кг.
Шаг 3. Свежие фрукты содержат 78% воды, значит сухого вещества 22%.
Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,22·x = 36,52.
x = 36,52 / 0,22 = 166 кг.
Ответ: 166.
Правильный ответ: 166
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}-x^2+6x-9,& x\ge 2,\\-x,& x<2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: (-2;-1)∪{0}.
Ответ: (-2;-1)∪{0}.
Правильный ответ: (-2;-1)∪{0}
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 26, AC = 65, NC = 30.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.
Шаг 2. Из подобия: BN/BC = \(\frac{2}{5}\), то есть BN = 2·BC/5.
Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 30.
Подставляем: BN = 2·(BN + 30)/5.
5·BN = 2·BN + 2·30.
(5−2)·BN = 60 ⟹ BN = 60/(5−2) = 20.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом B проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠BA₁A = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠BC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол B тупой, поэтому основания A₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон BC и BA за вершину B. Значит ∠A₁BC₁ = ∠ABC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △BAA₁ и △BCC₁ имеют равные острые углы при B, поэтому подобны. Отсюда BA₁ : BA = BC₁ : BC.
Шаг 4. У △A₁BC₁ и △ABC угол при B равен (∠A₁BC₁ = ∠ABC), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁BC₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 2, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 24.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.
Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.
CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).
Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:
AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 24² = 576, AD·BC = 34·2 = 68.
Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:
R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.
