Загрузка заданий...

Вариант 1364 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	210	148
2	594	420
3	148	105
4	420	297

Решение

A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.

Ответ: 2413

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?

Решение

При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.

Ответ: 2

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.

Ответ: 1247.4

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.

Ответ: 840

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Площадь листа A5 равна $\frac{1}{32}$ м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.

Ответ: 1250

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,6 : 12,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,6 : 12,5$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,6) : 12,5 = 0,048$.

Ответ: $0,048$.

Ответ: 0,048

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{-40}{11}$

$\frac{-3}{8}$

1,8

$\sqrt{24}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между -1 и 0.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{-40}{11}$ ≈ -3,6364

2) $\frac{-3}{8}$ ≈ -0,375

3) 1,8 ≈ 1,8

4) $\sqrt{24}$ ≈ 4,899

Точке A соответствует вариант 2.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{80} + \sqrt{125})\sqrt{5}$$

Решение

Вычислим выражение: (√80 + √125)·√5.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √80 = 4√5, √125 = 5√5.

Тогда получаем (4√5 + 5√5)·√5 = 9√5·√5.

Так как √5·√5 = 5, имеем 9·5 = 45.

Ответ: 45.

Ответ: 45

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + x - 72 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + x - 72 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 1, c = -72.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 1² - 4·1·-72 = 289.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-1 - √289) / 2 = -9

x₂ = (-1 + √289) / 2 = 8

Ответ: -9;8

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 40 чашек: 35 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 5 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{5}{40}$ = 0,125.

Ответ: 0,125.

Ответ: 0,125

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.

Коэффициенты

А) k < 0, b > 0

Б) k > 0, b < 0

В) k > 0, b > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 123.

Ответ: 123

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 18 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Подставим C = 0,0001 и U = 18 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0001·18² / 2 = 0,0162.

Ответ: 0,0162.

Ответ: 0,0162

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

2x - x² ≤ 0

Решение

Разложим: 2x - x² = x(2 - x). Нули: 0 и 2. Верное решение: (-∞;0] ∪ [2;+∞). Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 20 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 4 секунд торможения?

Решение

Пройденный путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 20, d = -3, n = 4.

Сумма первых 4 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 4(2·20 + 3·(-3))/2 = 62.

Ответ: 62.

Ответ: 62

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 66° и BM = AM = MC.

Решение

Из условия BM = AM = MC.

Тогда треугольник BMC равнобедренный, так как BM = MC.

Поэтому ∠MBC = ∠BCM = 66°.

Следовательно, ∠BMC = 180° - 2·66° = 48°.

Точки A, M, C лежат на одной прямой, поэтому ∠AMB = 180° - 48° = 132°.

В треугольнике ABM стороны AM и BM равны, значит углы при основании равны.

Пусть ∠A = x. Тогда 2x + 132° = 180°.

Отсюда x = 90° - 66° = 24°.

Ответ: 24.

Ответ: 24

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 108°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.

Поэтому ∠AOB = 180° - 108° = 72°.

Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.

Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 72° / 2 = 36°.

Ответ: 36.

Ответ: 36

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание, если высота равна 5, большее основание равно 14, а угол при основании равен 45°.

Решение

При угле 45° разность оснований равна двум высотам.

Меньшее основание равно 14 - 2·5 = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.

Решение

A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.

На уровне y=3: t=(3−1)/(7−1)=$\frac{1}{3}$. x_A=1+$\frac{1}{3}$·3=2... нет: x_A=3, x_B=5. AB=2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Существует квадрат, который не является прямоугольником.

Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.

Все диаметры окружности равны между собой.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

Ответ: 23

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-1)^2<\sqrt{2}(x-1)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-1)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-1)^2-\sqrt{2}(x-1)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-1)\bigl[(x-1)-\sqrt{2}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=1$ и $x=1+\sqrt{2}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(1;\; 1+\sqrt{2})$.

Правильный ответ: (1;1+√2)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два велосипедиста одновременно отправляются в 105-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 16 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время движения.

Шаг 1. Пусть скорость второго велосипедиста равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 16) км/ч.

Шаг 2. Первый прибывает на 4 ч раньше:

105/x − 105/(x+16) = 4.

Шаг 3. Умножаем на x·(x+16):

105·16 = 4·x·(x+16).

Шаг 4. Квадратное уравнение: 4x² + 64x − 1680 = 0.

Шаг 5. D = 30976, √D = 176.

x = (−64 + 176) / (2·4) = 14 (скорость второго).

Ответ: 14.

Правильный ответ: 14

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2+6x+9,& x\ge -5,\\-\dfrac{20}{x},& x<-5.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {0}∪[4;+∞).

Ответ: {0}∪[4;+∞).

Правильный ответ: {0}∪[4;+∞)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 13, DC = 52, AC = 40.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: AB ∥ DC — треугольники ABM и CDM подобны по двум углам.

Шаг 1. Из подобия △ABM ∼ △CDM: AM/MC = AB/DC = $\frac{13}{52}$ = $\frac{1}{4}$.

Шаг 2. AC = AM + MC, причём AM : MC = 1 : 4.

Одна «часть» = AC / (4+1) = 40 / 5 = 8.

Шаг 3. MC = 4 · 8 = 32.

Ответ: 32.

Правильный ответ: 32

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.

Шаг 1. Углы CDB и CAB опираются на хорду CB и равны по условию.

По обратной теореме о вписанном угле точки A, B, C, D лежат на одной окружности.

Шаг 2. В этой окружности углы BCA и BDA опираются на одну хорду BA.

Вписанные углы на одну хорду равны ⟹ ∠BCA = ∠BDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 9, MD = 6, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: полуокружность на BC как диаметре даёт прямой угол; ортоцентр связан с высотой.

Шаг 1. M лежит на полуокружности с диаметром BC → ∠BMC = 90°.

Значит DM ⊥ BC (M на высоте AD, и ∠BMC = 90° означает MD ⊥ BC — то есть M ∈ высоте).

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABD: DM — высота из D на гипотенузу AB?

Свойство ортоцентра: AH · AD = AM² (отношение в прямоугольном треугольнике).

Шаг 3. AM = AD − MD = 9 − 6 = 3.

AM² = 9.

AH = AM² / AD = 9 / 9 = ... (проверяем формулой AH = AD − MD²/AD).

Шаг 4. AH = AD − MD²/AD = 9 − $\frac{36}{9}$ = 5.

Ответ: 5.

Правильный ответ: 5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.