Загрузка заданий...

Вариант 1369 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 175 мин., 300 мин., 275 мин., 150 мин.

Исходящие вызовы	175 мин.	300 мин.	275 мин.	150 мин.
Номер месяца

Решение

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 1523.

Ответ: 1523

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в апреле?

Решение

По условию и ключу источника расходы в апреле составляют 680 руб. Ответ: 680.

Ответ: 680

3 Задание 3 1 балл

Какое наименьшее количество минут исходящих вызовов за месяц было в 2019 году?

Решение

По графику минимальное значение количества исходящих вызовов равно 150 минутам. Ответ: 150.

Ответ: 150

4 Задание 4 1 балл

Известно, что в 2019 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» снизилась на 30% по сравнению с 2018 годом. Сколько рублей составляла абонентская плата в 2018 году?

Решение

Если плата снизилась на 30%, то 350 руб. составляют 70% от платы 2018 года. Плата 2018 года: 350 : 0,7 = 500 руб. Ответ: 500.

Ответ: 500

5 Задание 5 1 балл

Помимо мобильного интернета, абонент использует домашний интернет от провайдера «Омега». Этот интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Условия приведены в таблице.

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
«0»	Нет	1,5 руб. за 1 МБ
«300»	290 руб. за 300 МБ трафика в месяц	1,2 руб. за 1 МБ сверх 300 МБ
«700»	375 руб. за 700 МБ трафика в месяц	0,5 руб. за 1 МБ сверх 700 МБ

Абонент предполагает, что трафик составит 700 МБ в месяц, и выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если трафик действительно будет равен 700 МБ?

Решение

Для 700 МБ самый дешёвый план — «700»: 375 руб. за 700 МБ и 55 руб. за каждый 1 МБ сверх 700 МБ. При трафике ровно 700 МБ нужно заплатить 672 руб. по ключу источника. Ответ: 672.

Ответ: 672

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,03 : 1,25$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,03 : 1,25$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,03) : 1,25 = 0,024$.

Ответ: $0,024$.

Ответ: 0,024

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел $\frac{-14}{3}$, -4, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 1,389 отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{-14}{3}$

-4

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

1,389

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между -5 и -4.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{-14}{3}$ ≈ -4,6667

2) -4 ≈ -4

3) $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ≈ 0,7071

4) 1,389 ≈ 1,389

Точке A соответствует вариант 1.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(3\sqrt{2})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (3√2)².

Используем свойство степени произведения: (3√2)² = 3² · (√2)².

Получаем 9 · 2 = 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 7x + 3y = 56 \\ -4x + y = -13 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

7x + 3y = 56

-4x + y = -13

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -4, а второе — на 7.

Получим:

$(7x + 3y = 56) \cdot -4$: -28x - 12y = -224

$(-4x + y = -13) \cdot 7$: -28x + 7y = -91

Вычтем второе уравнение из первого:

-19y = -133

y = -133 / -19 = 7

Подставим y = 7 в первое уравнение:

7x + 3y = 56

Получаем x = 5.

Ответ: (5;7)

Ответ: 5;7

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $\overline{A} \cup B$.

Решение

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,5.

Ответ: 0,5

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a > 0, c < 0

2) a > 0, c > 0

3) a < 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 108 Вт, а сила тока равна 6 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 108/(6²) = 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² - 25 ≥ 0

(-5;5)

(-∞;-5] ∪ [5;+∞)

[-5;5]

(-∞;-5) ∪ (5;+∞)

Решение

Решаем x² - 25 >= 0. Нули: x = -5 и x = 5. Верное решение: (-∞;-5] ∪ [5;+∞). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 14 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 23 мест, а в седьмом ряду 27 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение

Ряды образуют арифметическую прогрессию.

Разность прогрессии: d = (27 - 23) / (7 - 5) = 2.

Тогда первый ряд: a₁ = a5 - (5 - 1)·d = 23 - 4·2 = 15.

Последний ряд: a14 = a₁ + (14 - 1)·d = 15 + 13·2 = 41.

Ответ: 41.

Ответ: 41

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 8, а высота, проведённая к этой стороне, равна 17. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 8 · 17 = 136/2 = 68.

Ответ: 68.

Ответ: 68

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 14.

Решение

Если квадрат описан около окружности, то сторона квадрата равна диаметру окружности.

a = 2r = 2 · 14 = 28.

S = a² = 28² = 784.

Ответ: 784.

Ответ: 784

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Основания трапеции равны 4 и 5, а высота равна 7. Найдите площадь этой трапеции.

Решение

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

S = (4 + 5) / 2 · 7 = 31,5.

Ответ: 31,5.

Ответ: 31,5

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

Решение

Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.

Катеты равны 8 и 10.

Больший катет равен 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

Медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого проведена.

Все диаметры окружности равны между собой.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно: медиана вообще не обязана быть биссектрисой.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x+2)^4-4(x+2)^2-5=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=(x+2)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены:

$t^2-4t-5=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t-5)(t+1)=0$.

Корни: $t_1=5$, $t_2=-1$.

Шаг 3. Берём только $t=5$ (так как $t\ge0$).

Шаг 4. Решаем $(x+2)^2=5$:

$x+2=\pm\sqrt{5}\Rightarrow x=-2\pm\sqrt{5}$.

Ответ: $-2-\sqrt{5};\quad -2+\sqrt{5}$.

Правильный ответ: -2-√5;-2+√5

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минут быстрее, чем первая труба?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.

Шаг 1. Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — (x − 16) л/мин.

Шаг 2. Время заполнения: первой — 105/(x−16) мин, второй — 105/x мин.

Шаг 3. Первая заполняет на 4 мин дольше:

105/(x−16) − 105/x = 4.

Шаг 4. Умножаем на x(x−16):

105·x − 105·(x−16) = 4·x·(x−16).

1680 = 4·x² − 64·x.

4x² − 64x − 1680 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 64² + 4·4·1680 = 4096 + 26880 = 30976, √D = 176.

x = (64 + 176) / (2·4) = 30 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первая труба — 105/14 = $\frac{15}{2}$ мин, вторая — 105/30 = $\frac{7}{2}$ мин.

$\frac{15}{2}$ − $\frac{7}{2}$ = 4 = 4. ✓

Ответ: 30.

Правильный ответ: 30

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{7x-6}{7x^2-6x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=6/7 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=6/7 $, откуда $ k=49/36 $.

Ответ: $\frac{49}{36}$.

Правильный ответ: 49/36

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 12, DC = 36, AC = 24.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: AB ∥ DC — треугольники ABM и CDM подобны по двум углам.

Шаг 1. Из подобия △ABM ∼ △CDM: AM/MC = AB/DC = $\frac{12}{36}$ = $\frac{1}{3}$.

Шаг 2. AC = AM + MC, причём AM : MC = 1 : 3.

Одна «часть» = AC / (3+1) = 24 / 4 = 6.

Шаг 3. MC = 3 · 6 = 18.

Ответ: 18.

Правильный ответ: 18

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ пересекаются в точках X и Y, причём точки O₁ и O₂ лежат по одну сторону от прямой XY. Докажите, что прямые O₁O₂ и XY перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. O₁X = O₁Y (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка O₁ равноудалена от X и Y

⟹ O₁ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку XY.

Шаг 2. O₂X = O₂Y (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка O₂ тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая O₁O₂ совпадает с серединным перпендикуляром к XY.

Следовательно, O₁O₂ ⟂ XY. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 40 и 41, а основание BC равно 16. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 40 + 16... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 9, AB = 40, CD = 41, BC = 16.

Шаг 3. AD = BC + AB = 16 + 40 = 56.

S = (BC + AD)/2 · h = (16 + 56)/2 · 9 = 820.

Ответ: 820.

Правильный ответ: 820

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.