Загрузка заданий...

Вариант 1373 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Осиновка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Николаево в магазин. Из деревни Осиновка в село Николаево можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Зябликово до деревни Старая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Николаево. Есть и третий маршрут: в деревню Зябликово можно свернуть на прямую тропинку в село Николаево, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Старая	Николаево	Зябликово
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Осиновка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Зябликово, место поворота на другое шоссе — Старая, конечный пункт — Николаево.

Получаем соответствие: Осиновка — 1, Зябликово — 2, Старая — 4, Николаево — 3.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Старая, Николаево, Зябликово.

Следовательно, ответ: 432.

Ответ: 432

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Осиновка до села Николаево, если они поедут по шоссе через деревню Старая?

Решение

По шоссе путь состоит из двух участков: от Осиновка до Старая и от Старая до Николаево.

От Осиновка до Старая: 16 клеток · 1 км = 16 км.

От Старая до Николаево: 12 клеток · 1 км = 12 км.

Складываем: 16 + 12 = 28 км.

Ответ: 28.

Ответ: 28

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Осиновка до села Николаево по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 12 км и 16 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 20 км.

Ответ: 20.

Ответ: 20

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Осиновка в село Николаево Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

По прямой расстояние равно 20 км.

Скорость по лесной дорожке — 10 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 20 / 10 ч.

В минутах это 120 мин.

Ответ: 120.

Ответ: 120

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Осиновка	Николаево	Зябликово	Старая
Молоко (1 л)	42	49	52	48
Хлеб (1 батон)	27	29	32	38
Сыр «Российский» (1 кг)	259	250	255	264
Говядина (1 кг)	328	318	324	319
Картофель (1 кг)	34	19	24	30

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Осиновка, селе Николаево, деревне Зябликово и деревне Старая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Осиновка: 2·42=84 + 3·27=81 + 2·328=656 + 4·34=136 + 1·259=259 = 1 216

Николаево: 2·49=98 + 3·29=87 + 2·318=636 + 4·19=76 + 1·250=250 = 1 147

Зябликово: 2·52=104 + 3·32=96 + 2·324=648 + 4·24=96 + 1·255=255 = 1 199

Старая: 2·48=96 + 3·38=114 + 2·319=638 + 4·30=120 + 1·264=264 = 1 232

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Николаево": 1 147 руб.

Ответ: 1 147.

Ответ: 1147

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} : \frac{5}{7}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{1} : \frac{5}{7}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{1}) : \frac{5}{7} = \frac{7}{5}$.

Получили дробь $\frac{7}{5}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $1,4$.

Ответ: $1,4$.

Ответ: 1,4

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} < 0$

-a > -7

8 - a < 0

a < 8

Решение

По чертежу видно, что 7 < a < 8.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

2) -a > -7 ⇔ a < 7 — неверно.

3) 8 - a < 0 ⇔ a > 8 — неверно.

4) a < 8 ⇔ a < 8 — верно.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{11} - 5)(\sqrt{11} + 5)$$

Решение

Вычислим выражение: (√11 - 5)(√11 + 5).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√11)² - 5² = 11 - 25 = -14.

Ответ: -14.

Ответ: -14

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 8x + 8y = 88 \\ -7x - 5y = -73 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

8x + 8y = 88

-7x - 5y = -73

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -7, а второе — на 8.

Получим:

$(8x + 8y = 88) \cdot -7$: -56x - 56y = -616

$(-7x - 5y = -73) \cdot 8$: -56x - 40y = -584

Вычтем второе уравнение из первого:

-16y = -32

y = -32 / -16 = 2

Подставим y = 2 в первое уравнение:

8x + 8y = 88

Получаем x = 9.

Ответ: (9;2)

Ответ: 9;2

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события A.

Решение

Всего исходов: 40. Вероятность события A равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=12/40=0,3$.

Ответ: 0,3

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

А) $y = -3x$

Б) $y = 2x + 2$

В) $y = x$

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₂, если d₁ = 9, sinα = 0,625, а S = 56,25.

Решение

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₂: d₂ = 2S/(d₁sinα).

d₂ = 2·56,25/(9·0,625) = 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} 0 − 4x < 28 \\ x + 0,1 < -6,9 \end{cases}$$

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 360 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см?

Решение

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 360, q = $\frac{1}{3}$.

Проверяем последовательно: после 3-го отскока высота ещё не меньше 15 см, а после 4-го уже меньше.

Ответ: 4.

Ответ: 4

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 10. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = $\frac{1}{2}$ · 4 · 10 = $\frac{40}{2}$ = 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 44°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.

В треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 44° = 46°.

Углы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.

Следовательно, ∠NMB = 46°.

Ответ: 46.

Ответ: 46

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение

При угле 45° высота равна половине разности оснований.

h = (9 - 2) / 2 = 3,5.

S = (2 + 9) / 2 · 3,5 = 19,25.

Ответ: 19,25.

Ответ: 19,25

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 3 и 4.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно: по определению окружности.

2) Неверно: площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

3) Верно: 1 + 2 < 4, не выполняется неравенство треугольника.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x-2)^4+3(x-2)^2-10=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биквадратное по $(x-2)$. Замена $t=(x-2)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+3t-10=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t+5)(t-2)=0$.

Корни: $t_1=-5$, $t_2=2$.

Шаг 3. Так как $t\ge0$, берём только $t=2$. (Значение $t=-5$ исключаем.)

Шаг 4. Решаем $(x-2)^2=2$:

$x-2=\pm\sqrt{2}\Rightarrow x=2\pm\sqrt{2}$.

Ответ: $2-\sqrt{2};\quad 2+\sqrt{2}$.

Правильный ответ: 2-√2;2+√2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первые 300 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 300 км — со скоростью 100 км/ч, а последние 300 км — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.

Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):

t₁ = 300/60 = 5 ч,

t₂ = 300/100 = 3 ч,

t₃ = 300/75 = 4 ч.

Шаг 2. Общее расстояние: 300 + 300 + 300 = 900 км.

Шаг 3. Общее время: 5 + 3 + 4 = 12 ч.

Шаг 4. Средняя скорость: 900 / 12 = 75 км/ч.

Ответ: 75.

Правильный ответ: 75

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| + 1\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x + 1.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x + 1.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 1. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 1.

Проверка: при m = 1 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: 1.

Правильный ответ: 1

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катеты прямоугольного треугольника равны 14 и 48. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.

Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(14² + 48²) = √2500 = 50.

Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 14·$\frac{48}{2}$ = 336.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 50·h/2.

Шаг 4. Приравниваем: 50·h/2 = 336 ⟹ h = 14·$\frac{48}{50}$ = 13,44.

Ответ: 13,44.

Правильный ответ: 13,44

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка на средней линии равноудалена от обоих оснований.

Шаг 1. Средняя линия параллельна основаниям и находится на расстоянии h/2 от каждого, где h — высота трапеции.

Шаг 2. S(BFC) = BC·(h/2)/2 = BC·h/4.

S(AFD) = AD·(h/2)/2 = AD·h/4.

Шаг 3. S(BFC) + S(AFD) = (AD+BC)·h/4 = S(трапеции)/2. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 160 ⟹ a+b = 80.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·1280/80 = 32.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=80 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=32:

a = 16, b = 64.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 32·$\frac{16}{80}$ = 6,4.

Ответ: 6,4.

Правильный ответ: 6,4

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.