Загрузка заданий...
Вариант 1386 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/60 R14.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 205.
Ответ: 205
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 205/55 R15?
Решение
В маркировке 205/55 R15 ширина шины равна 205 мм, а высота боковины составляет 55% от ширины. H = 205 · 55 / 100 = 112.75 мм. Ответ: 112.75.
Ответ: 112.75
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/55 R15?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/60 R14 и нового колеса 195/55 R15. Ответ: 17.9.
Ответ: 17.9
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 185/60 R14 получаем диаметр 577.6 мм. Ответ: 577.6.
Ответ: 577.6
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 205/50 R16? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/60 R14 и колеса 205/50 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 5.9.
Ответ: 5.9
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} + \frac{2}{1} : \frac{1}{3}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{1} + \frac{2}{1} : \frac{1}{3}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{2}{1}) : \frac{1}{3} = \frac{6}{1}\).
Шаг 2: \((\frac{1}{1}) + \frac{6}{1} = \frac{7}{1}\).
Получили дробь 7.
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(7\).
Ответ: \(7\).
Ответ: 7
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Укажите число, которое больше 2,075, но меньше \(\frac{12}{5}\).
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа 2,075 и \(\frac{12}{5}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 (\(\sqrt{5}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 3
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(3\sqrt{5})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (3√5)².
Используем свойство степени произведения: (3√5)² = 3² · (√5)².
Получаем 9 · 5 = 45.
Ответ: 45.
Ответ: 45
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 5 + 3(-5x - 5) = -2x - 62
Решение
Решим уравнение: 5 + 3(-5x - 5) = -2x - 62
Раскроем скобки:
5 + 3(-5x - 5) = -2x - 62
5 - 15x - 15 = -2x - 62
Приведём подобные слагаемые в левой части:
-15x - 10 = -2x - 62
Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:
-13x = -52
Разделим обе части на -13:
x = -52 / -13
x = 4
Ответ: 4
Ответ: 4
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события B.
Решение
Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.
Получаем 0,35.
Ответ: 0,35
Ответ: 0,35
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) \(y = -2x - 4\)
Б) \(y = \sqrt{x}\)
В) \(y = -x^2 - 2\)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.
Ответ: 213
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 16-минутной поездки.
Решение
Подставим t = 16 в формулу C = 150 + 11(t − 5).
C = 150 + 11·(16 − 5) = 271.
Ответ: 271.
Ответ: 271
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} -2,4 − 3x < 19,8 \\ 3x + 0,9 \leqslant 8,7 \end{cases}$$
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-7,4;2,6]. Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 9 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 150 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 9, q = 3.
За 150 минут пройдёт 5 промежутков по 30 минут.
Получаем массу 9·3^5 = 2187 мг.
Ответ: 2187.
Ответ: 2187
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AC = 18, BM – медиана, BM = 10. Найдите AM.
Решение
Медиана делит сторону, к которой проведена, пополам.
Поэтому AM = AC : 2 = 18 : 2 = 9.
Ответ: 9.
Ответ: 9
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 32.
Решение
Если квадрат описан около окружности, то сторона квадрата равна диаметру окружности.
a = 2r = 2 · 32 = 64.
S = a² = 64² = 4096.
Ответ: 4096.
Ответ: 4096
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 7. Найдите меньшее основание трапеции.
Решение
При такой высоте большее основание делится на отрезки x и x + меньшее основание.
Следовательно, меньшее основание равно 7 - 4 = 3.
Ответ: 3.
Ответ: 3
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.
Решение
Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.
Катеты равны 4 и 7.
Больший катет равен 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Верно.
2) Неверно.
3) Верно.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \(\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{3}{x-1}-10=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=\frac{1}{x-1}\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2+3t-10=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t+5)(t-2)=0\).
Корни: \(t_1=-5\), \(t_2=2\).
Шаг 3. Обратная замена \(x=1+\frac{1}{t}\):
Если \(t=-5\): \(x-1=-\dfrac{1}{5}\Rightarrow x=\dfrac{4}{5}\).
Если \(t=2\): \(x-1=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\).
Шаг 4. ОДЗ: \(x\ne1\) — оба корня удовлетворяют.
Ответ: \(\dfrac{4}{5};\quad \dfrac{3}{2}\).
Правильный ответ: 4/5;3/2
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 200 литров она заполняет на 2 минут дольше, чем вторая труба?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.
Шаг 1. Пусть первая труба пропускает x л/мин, тогда вторая — (x + 5) л/мин.
Шаг 2. Время заполнения: первой — 200/x мин, второй — 200/(x+5) мин.
Шаг 3. Первая заполняет на 2 мин дольше:
200/x − 200/(x+5) = 2.
Шаг 4. Умножаем на x(x+5):
200·(x+5) − 200·x = 2·x·(x+5).
1000 = 2·x² + 10·x.
2x² + 10x − 1000 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 10² + 4·2·1000 = 100 + 8000 = 8100, √D = 90.
x = (−10 + 90) / (2·2) = 20 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первая труба — 200/20 = 10 мин, вторая — 200/25 = 8 мин.
10 − 8 = 2 = 2. ✓
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}1{,}5x-1,& x<2,\\-1{,}5x+3,& 2\le x\le 3,\\3x-10{,}5,& x>3.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {-1,5}∪(0;2).
Ответ: {-1,5}∪(0;2).
Правильный ответ: {-1,5}∪(0;2)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 24 и CH = 6. Найдите высоту ромба.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.
Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 24 + 6 = 30.
Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 30 и катетом DH = 24.
Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(30² − 24²) = √(324) = 18.
Ответ: 18.
Правильный ответ: 18
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.
Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Углы при одном из оснований трапеции равны 80° и 10°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2. Найдите основания трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.
Шаг 1. Углы 80° + 10° = 90° при одном основании.
При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:
• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.
Для данного случая: отрезки равны 6 и 2.
Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 6 и (b-a)/2 = 2 (или наоборот).
a+b = 12, b-a = 4.
b = 8, a = 4.
Ответ: 4; 8.
Правильный ответ: 4; 8
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.