Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
Исходящие вызовы
3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
90 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1Задание 11 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 375 мин., 150 мин., 275 мин., 300 мин.
Исходящие вызовы
375 мин.
150 мин.
275 мин.
300 мин.
Номер месяца
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 7325.
Ответ: 7325
2Задание 21 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в декабре?
Решение
По условию и ключу источника расходы в декабре составляют 500 руб. Ответ: 500.
Ответ: 500
3Задание 31 балл
Какой наименьший трафик мобильного интернета в гигабайтах за месяц был в 2019 году?
В январе 2020 года абонентская плата по тарифу «Стандартный» повысилась и составила 490 рублей. На сколько процентов повысилась абонентская плата?
Решение
В 2019 году плата была 350 руб., стала 490 руб. Увеличение: 490 − 350 = 140 руб. Процент увеличения: 140 : 350 · 100% = 40%. Ответ: 40.
Ответ: 40
5Задание 51 балл
Помимо мобильного интернета, абонент использует домашний интернет от провайдера «Омега». Этот интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Условия приведены в таблице.
Тарифный план
Абонентская плата
Плата за трафик
«0»
Нет
1,5 руб. за 1 МБ
«300»
290 руб. за 300 МБ трафика в месяц
1,2 руб. за 1 МБ сверх 300 МБ
«700»
375 руб. за 700 МБ трафика в месяц
0,5 руб. за 1 МБ сверх 700 МБ
Абонент предполагает, что трафик составит 800 МБ в месяц, и выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если трафик действительно будет равен 800 МБ?
Решение
Для 800 МБ по условию и ключу источника наименьшая стоимость составляет 880 руб. Ответ: 880.
Ответ: 880
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,6 - 0,045 + 0,12$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,6 - 0,045 + 0,12\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,6) - 0,045 = 0,555\).
Шаг 2: \((0,555) + 0,12 = 0,675\).
Ответ: \(0,675\).
Ответ: 0,675
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{1}{a} < 0\)
2
a + 9 < 0
3
\(\frac{1}{a} > 0\)
4
-a < 8
Решение
По чертежу видно, что -9 < a < -8.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — верно.
2) a + 9 < 0 ⇔ a < -9 — неверно.
3) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
4) -a < 8 ⇔ a > -8 — неверно.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$7^{-3} \cdot (7^2)^2$$
Решение
Вычислим выражение: 7^(-3) · (7^2)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (7^2)^2 = 7^4.
Найдите корни уравнения:
x2 - 18x + 81 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 - 18x + 81 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -18, c = 81.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -18² - 4·1·81 = 0.
Так как D = 0, уравнение имеет один корень.
x = 18 / 2 = 9
Ответ: 9
Ответ: 9
10Статистика, вероятности1 балл
На экзамене 50 билетов, Олег не выучил 49 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 1 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{1}{50}\) = 0,02.
Ответ: 0,02.
Ответ: 0,02
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a > 0, c > 0
Б) a < 0, c > 0
В) a > 0, c < 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 213.
Ответ: 213
12Расчёты по формулам1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 17 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Подставим C = 0,0001 и U = 17 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0001·17² / 2 = 0,0145.
Ответ: 0,0145.
Ответ: 0,0145
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства
8x - x2 < 0
1
2
3
4
Решение
Разложим: 8x - x² = x(8 - x). Нули: 0 и 8. Верное решение: (-∞;0) ∪ (8;+∞). Это вариант 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 630 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 7 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 630, q = \(\frac{1}{2}\).
Проверяем последовательно: после 7-го отскока высота ещё не меньше 7 см, а после 8-го уже меньше.
Ответ: 8.
Ответ: 8
15Треугольники и их элементы1 балл
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение
По теореме Пифагора квадрат неизвестного катета равен разности квадрата гипотенузы и квадрата известного катета.
x² = 41² - 40² = 1681 - 1600 = 81.
Значит, x = 9.
Ответ: 9.
Ответ: 9
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 173°. Ответ дайте в градусах.
Решение
Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен половине центрального угла.
Поэтому ∠ACB = ∠AOB / 2 = 173° / 2 = 86,5°.
Ответ: 86,5.
Ответ: 86,5
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Один из углов прямоугольной трапеции равен 139°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение
В прямоугольной трапеции два угла по 90°, а два других supplementary.
Искомый угол равен 180° - 139° = 41°.
Ответ: 41.
Ответ: 41
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 9 и 12.
Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Верно.
2) Неверно.
3) Неверно.
Ответ: 1.
Ответ: 1
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}2x^2+y=9,\\3x^2-y=11.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: складываем уравнения.
Шаг 1. Складываем:
\((2x^2+y)+(3x^2-y)=9+11\Rightarrow 5x^2=20\).
Шаг 2. \(x^2=4\Rightarrow x=\pm2\).
Шаг 3. Находим \(y\):
\(y=9-2x^2=9-8=1\).
Ответ: \((-2;\,1);\ (2;\,1)\).
Правильный ответ: (-2;1);(2;1)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты, смеси и сплавы
Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.
Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.
Шаг 2. При полном смешивании 26 кг получается раствор с концентрацией 55%:
10·x + 16·y = 26·0,55 = 14,3 ...(1).
Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 61%:
(x + y)/2 = 0,61 ⟹ x + y = 1,22 ...(2).
Шаг 4. Из (2): y = 1,22 − x. Подставляем в (1):
10·x + 16·(1,22 − x) = 14,3
10x + 19,52 − 16x = 14,3
−6x = −5,22 ⟹ x = 0,87.
Шаг 5. Масса кислоты в 1-м сосуде: 10·0,87 = 8,7 кг.
Ответ: 8,7.
Правильный ответ: 8,7
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2+1,& x\ge -1,\\-\dfrac{4}{x},& x<-1.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: (0;1)∪[4;+∞).
Ответ: (0;1)∪[4;+∞).
Правильный ответ: (0;1)∪[4;+∞)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 12, DC = 60, AC = 30.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: AB ∥ DC — треугольники ABM и CDM подобны по двум углам.
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках M и N не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении r:s. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как r:s.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы MA и NB к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ MA ∥ NB.
Шаг 2. В треугольниках TMA и TNB (T — точка на MN):
∠ATM = ∠BTN (вертикальные), MA ∥ NB ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TM/TN = r:s.
Шаг 3. TM/TN = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как r:s. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Углы при одном из оснований трапеции равны 18° и 72°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 2. Найдите основания трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.
Шаг 1. Углы 18° + 72° = 90° при одном основании.
При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:
• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.
Для данного случая: отрезки равны 19 и 2.
Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 19 и (b-a)/2 = 2 (или наоборот).
