Загрузка заданий...

Вариант 1413 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A2, A3 и A5.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A2, A3, A5.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	594	420
2	420	297
3	1189	841
4	210	148

Решение

A0 — 1189 × 841 мм, это №3. A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A5 — 210 × 148 мм, это №4. Ответ: 3124.

Ответ: 3124

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A1?

Решение

Из A1 получают 2 листа A2, из каждого A2 — 2 листа A3, из каждого A3 — 2 листа A4. Всего 2 · 2 · 2 = 8 листов A4. Ответ: 8.

Ответ: 8

3 Задание 3 1 балл

Найдите ширину листа бумаги формата A4. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A4 имеет размеры 297 × 210 мм. Ширина равна 210 мм, округление не меняет значение. Ответ: 210.

Ответ: 210

4 Задание 4 1 балл

Найдите отношение длины большей стороны листа формата A1 к меньшей. Ответ округлите до десятых.

Решение

Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Отношение большей стороны к меньшей: 841 : 594 ≈ 1,416. Округляем до десятых: 1,4. Ответ: 1,4.

Ответ: 1.4

5 Задание 5 1 балл

Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 16 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.

Решение

При переходе от A4 к A5 линейные размеры уменьшаются в √2 раза. Размер шрифта: 16 : √2 ≈ 11,3. Округляем до целого: 11. Ответ: 11.

Ответ: 11

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,025 - \frac{5}{8} + 25$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,025 - \frac{5}{8} + 25$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,025) - \frac{5}{8} = -0,6$.

Шаг 2: $(-0,6) + 25 = 24,4$.

Получили результат $24,4$.

Ответ: $24,4$.

Ответ: 24,4

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 2, 2,62, $\frac{57}{14}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

2,62

$\frac{57}{14}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 2 и 3.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ≈ 0,7071

2) 2 ≈ 2

3) 2,62 ≈ 2,62

4) $\frac{57}{14}$ ≈ 4,0714

Точке A соответствует вариант 3.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$7^{-3} \cdot (7^3)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 7^(-3) · (7^3)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (7^3)^2 = 7^6.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 7^-3 · 7^6 = 7^3.

Получаем 7^3 = 343.

Ответ: 343.

Ответ: 343

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 3x + 2y = -26 \\ 6x + 5y = -56 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

3x + 2y = -26

6x + 5y = -56

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 6, а второе — на 3.

Получим:

$(3x + 2y = -26) \cdot 6$: 18x + 12y = -156

$(6x + 5y = -56) \cdot 3$: 18x + 15y = -168

Вычтем второе уравнение из первого:

-3y = 12

y = 12 / -3 = -4

Подставим y = -4 в первое уравнение:

3x + 2y = -26

Получаем x = -6.

Ответ: (-6;-4)

Ответ: -6;-4

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 40 билетов, Стас не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 37 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{37}{40}$ = 0,925.

Ответ: 0,925.

Ответ: 0,925

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) k > 0, b > 0

2) k > 0, b < 0

3) k < 0, b > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 123.

Ответ: 123

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0002 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 30 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Подставим C = 0,0002 и U = 30 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0002·30² / 2 = 0,09.

Ответ: 0,09.

Ответ: 0,09

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 8)(x - 8) ≥ 0

(-∞;-8] ∪ [8;+∞)

(-∞;-8)

(-∞;8]

(8;+∞)

Решение

Нули выражения: x = -8 и x = 8. На числовой прямой отмечаем точки -8 и 8 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 8)(x - 8) >= 0 получаем решение (-∞;-8] ∪ [8;+∞). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 10 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 5,6 м, q = $\frac{1}{3}$.

Пороговая высота равна 10 см = 0,1 м.

После 4-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 5-го прыжка уже меньше.

Ответ: 5.

Ответ: 5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 7 и 12. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = $\frac{1}{2}$ · 7 · 12 = $\frac{84}{2}$ = 42.

Ответ: 42.

Ответ: 42

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 112°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение

В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

∠C = 180° - 112° = 68°.

Ответ: 68.

Ответ: 68

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов равнобедренной трапеции равен 55°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение

В равнобедренной трапеции соседние углы при боковой стороне supplementary.

Искомый угол равен 180° - 55° = 125°.

Ответ: 125.

Ответ: 125

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 4 и 6.

m = (4 + 6) / 2 = 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все углы ромба равны.

Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно: все углы ромба равны только у квадрата.

2) Неверно: равенство соответствующих сторон четырёхугольников не гарантирует их равенство.

3) Верно: из точки вне окружности можно провести две касательные.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $5a-2b+13$, если $\dfrac{3a-4b+5}{4a-3b+5}=2$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $5a-2b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $3a-4b+5 = 2(4a-3b+5)$.

Шаг 2. Раскрываем: $3a-4b+5 = 8a-6b+10$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 5a-2b+5$, откуда $5a-2b = -5$.

Шаг 4. Вычисляем: $5a-2b+13 = -5+13 = 8$.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 72% воды, а высушенные — 26%. Сколько сухих фруктов получится из 222 кг свежих фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Свежие фрукты содержат 72% воды, значит сухого вещества 28%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 222 кг свежих фруктов:

222 · 28/100 = 62,16 кг.

Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 26% воды, значит сухого вещества 74%.

Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,74·x = 62,16.

x = 62,16 / 0,74 = 84 кг.

Ответ: 84.

Правильный ответ: 84

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+4)((x-1))}{1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+4),\ x\ne 1 $.

После сокращения получаем параболу $ y=-(x^2+a) $, но точка при $ x=1 $ выколота. Прямая $ y=kx $ имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-5; -4; 4 $.

Ответ: $ -5; -4; 4 $.

Правильный ответ: -5; -4; 4

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катеты прямоугольного треугольника равны 32 и 60. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.

Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(32² + 60²) = √4624 = 68.

Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 32·$\frac{60}{2}$ = 960.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 68·h/2.

Шаг 4. Приравниваем: 68·h/2 = 960 ⟹ h = 32·$\frac{60}{68}$ = 480/17.

Ответ: 480/17.

Правильный ответ: 480/17

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка на средней линии равноудалена от обоих оснований.

Шаг 1. Средняя линия параллельна основаниям и находится на расстоянии h/2 от каждого, где h — высота трапеции.

Шаг 2. S(BFC) = BC·(h/2)/2 = BC·h/4.

S(AFD) = AD·(h/2)/2 = AD·h/4.

Шаг 3. S(BFC) + S(AFD) = (AD+BC)·h/4 = S(трапеции)/2. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 6, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 124° и 116°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 124° − 90° = 34°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 116° − 90° = 26°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 34° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 26° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 26° = 64°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 64° − 34° = 30°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(30°) = 6 / sin(30°) = 12.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.