Загрузка заданий...

Вариант 1425 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 225/60 R18.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 19 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 225.

Ответ: 225

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 235/55 R18?

Решение

В маркировке 235/55 R18 ширина шины равна 235 мм, а высота боковины составляет 55% от ширины. H = 235 · 55 / 100 = 129.25 мм. Ответ: 129.25.

Ответ: 129.25

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 235/45 R20?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/60 R18 и нового колеса 235/45 R20. Ответ: 7.7.

Ответ: 7.7

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 225/60 R18 получаем диаметр 727.2 мм. Ответ: 727.2.

Ответ: 727.2

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов уменьшится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 235/45 R20? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/60 R18 и колеса 235/45 R20, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.1.

Ответ: 1.1

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$2 - 0,9$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $2 - 0,9$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(2) - 0,9 = 1,1$.

Ответ: $1,1$.

Ответ: 1,1

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-a > -6

a - 7 < 0

$\frac{1}{a} < 0$

a > 7

Решение

По чертежу видно, что 6 < a < 7.

Проверим варианты ответа:

1) -a > -6 ⇔ a < 6 — неверно.

2) a - 7 < 0 ⇔ a < 7 — верно.

3) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

4) a > 7 ⇔ a > 7 — неверно.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$5\sqrt{11} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{33}$$

Решение

Вычислим выражение: 5√11 · 4√3 · √33.

Перемножим коэффициенты: 5 · 4 = 20.

Подкоренные выражения дают: √11 · √3 · √33 = √(11·3·33) = √(1089) = 33.

Тогда всё выражение равно 20 · 33 = 660.

Ответ: 660.

Ответ: 660

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - x = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² - x = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -1, c = 0.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -1² - 4·1·0 = 1.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (1 - √1) / 2 = 0

x₂ = (1 + √1) / 2 = 1

Ответ: 0;1

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 40 чашек: 9 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 31 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{31}{40}$ = 0,775.

Ответ: 0,775.

Ответ: 0,775

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = \dfrac{1}{3}x + 1$

Б) $y = -\dfrac{9}{x}$

В) $y = -2x^2 - 10x - 13$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0002 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 14 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Подставим C = 0,0002 и U = 14 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0002·14² / 2 = 0,0196.

Ответ: 0,0196.

Ответ: 0,0196

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 8)(x - 1) ≥ 0

(-∞;-8) ∪ (1;+∞)

[-8;1]

(-8;1)

(-∞;-8] ∪ [1;+∞)

Решение

Нули выражения: x = -8 и x = 1. На числовой прямой отмечаем точки -8 и 1 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 8)(x - 1) >= 0 получаем решение (-∞;-8] ∪ [1;+∞). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 14 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 34 мест, а в девятом ряду 40 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение

Ряды образуют арифметическую прогрессию.

Разность прогрессии: d = (40 - 34) / (9 - 7) = 3.

Тогда первый ряд: a₁ = a7 - (7 - 1)·d = 34 - 6·3 = 16.

Последний ряд: a14 = a₁ + (14 - 1)·d = 16 + 13·3 = 55.

Ответ: 55.

Ответ: 55

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 3/5, AB = 10. Найдите AC.

Решение

В прямоугольном треугольнике sin B = AC / AB.

Значит, AC = AB · sin B = 10 · $\frac{3}{5}$ = 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 59°. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение

Трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная.

В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны.

Поэтому ∠B = 180° - ∠A? Нет, для оснований AD и BC углы A и D при одном основании, B и C — при другом. А в равнобедренной трапеции ∠A = ∠D и ∠B = ∠C, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.

Следовательно, ∠B = 180° - 59° = 121°.

Ответ: 121.

Ответ: 121

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сторона квадрата равна 6√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение

Диагональ квадрата равна a√2.

d = 6√2 · √2 = 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

По клеткам основание равно 10, высота равна 5.

S = 10 · 5 / 2 = 25.

Ответ: 25.

Ответ: 25

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.

Тангенс любого острого угла меньше единицы.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно: тангенс острого угла может быть больше 1.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x+2)^4-4(x+2)^2-5=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=(x+2)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены:

$t^2-4t-5=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t-5)(t+1)=0$.

Корни: $t_1=5$, $t_2=-1$.

Шаг 3. Берём только $t=5$ (так как $t\ge0$).

Шаг 4. Решаем $(x+2)^2=5$:

$x+2=\pm\sqrt{5}\Rightarrow x=-2\pm\sqrt{5}$.

Ответ: $-2-\sqrt{5};\quad -2+\sqrt{5}$.

Правильный ответ: -2-√5;-2+√5

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 36 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 82 км, скорость первого велосипедиста равна 28 км/ч, скорость второго — 10 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: ввести переменную t — время от старта до встречи; первый велосипедист находился в движении меньше.

Шаг 1. Обозначим t (ч) — время от выезда до встречи.

Шаг 2. Первый сделал остановку 36 мин = $\frac{3}{5}$ ч, поэтому его время движения: t − $\frac{3}{5}$.

Шаг 3. Суммарный путь равен расстоянию между городами:

28·(t − $\frac{3}{5}$) + 10·t = 82.

Шаг 4. Раскрываем: (28 + 10)·t = 82 + 28·$\frac{3}{5}$ = 494/5.

t = 494/5 / 38 = $\frac{13}{5}$ ч.

Шаг 5. Расстояние от города второго велосипедиста до места встречи:

10 · $\frac{13}{5}$ = 26 км.

Ответ: 26.

Правильный ответ: 26

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{2x+5}{2x^2+5x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=-5/2 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=-5/2 $, откуда $ k=4/25 $.

Ответ: $\frac{4}{25}$.

Правильный ответ: 4/25

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 7, AC = 21, NC = 18.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.

Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = $\frac{7}{21}$ = $\frac{1}{3}$.

Шаг 2. Из подобия: BN/BC = $\frac{1}{3}$, то есть BN = 1·BC/3.

Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 18.

Подставляем: BN = 1·(BN + 18)/3.

3·BN = 1·BN + 1·18.

(3−1)·BN = 18 ⟹ BN = 18/(3−1) = 9.

Ответ: 9.

Правильный ответ: 9

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках P и Q пересекаются в точках K и L, причём точки P и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что прямые PQ и KL перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. PK = PL (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка P равноудалена от K и L

⟹ P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку KL.

Шаг 2. QK = QL (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка Q тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая PQ совпадает с серединным перпендикуляром к KL.

Следовательно, PQ ⟂ KL. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 6, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 124° и 116°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 124° − 90° = 34°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 116° − 90° = 26°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 34° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 26° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 26° = 64°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 64° − 34° = 30°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(30°) = 6 / sin(30°) = 12.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.