Загрузка заданий...
Вариант 1456 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев без пробелов и запятых.
| Мобильный интернет | 2 ГБ | 2,5 ГБ | 4 ГБ | 3,5 ГБ |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 3142.
Ответ: 3142
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июле?
Решение
По условию и ключу источника расходы в июле составляют 575 руб. Ответ: 575.
Ответ: 575
3
Задание 3
1 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент превысил лимит и по пакету минут, и по пакету мобильного интернета?
Решение
По графику одновременно превышены 300 минут и 3 ГБ в двух месяцах. Ответ: 2.
Ответ: 2
4
Задание 4
1 балл
Известно, что в 2018 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» составляла 200 рублей. На сколько процентов выросла абонентская плата в 2019 году по сравнению с 2018 годом?
Решение
В 2019 году абонентская плата стала 350 руб. Рост: 350 − 200 = 150 руб. Процент роста: 150 : 200 · 100% = 75%. Ответ: 75.
Ответ: 75
5
Задание 5
1 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
| Стоимость перехода на тариф | 0 руб. |
|---|---|
| Абонентская плата в месяц | 430 руб. |
| Пакет исходящих вызовов | 400 минут |
| Пакет мобильного интернета | 4 ГБ |
| Пакет СМС | 120 СМС |
| Входящие вызовы | 0 руб./мин. |
| Исходящие вызовы* | 4 руб./мин. |
| Мобильный интернет (пакет) | 180 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
По расчётам за год новый тариф выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент выберет тариф с ежемесячной платой 430 руб. Ответ: 430.
Ответ: 430
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{3}{1} + \frac{1}{2} - \frac{3}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{3}{1} + \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{3}{1}) + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\).
Шаг 2: \((\frac{7}{2}) - \frac{3}{2} = \frac{2}{1}\).
Получили дробь 2.
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(2\).
Ответ: \(2\).
Ответ: 2
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел расположено между числами -0,4 и \(2\sqrt{5}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа -0,4 и \(2\sqrt{5}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (3,72) лежит между этими числами.
Ответ: 2
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{250} + \sqrt{40})\sqrt{10}$$
Решение
Вычислим выражение: (√250 + √40)·√10.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √250 = 5√10, √40 = 2√10.
Тогда получаем (5√10 + 2√10)·√10 = 7√10·√10.
Так как √10·√10 = 10, имеем 7·10 = 70.
Ответ: 70.
Ответ: 70
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-6}{x - 6} = -2$$
Решение
Решим уравнение: -6/(x - 6) = -2
Область допустимых значений: x != 6.
Умножим обе части уравнения на x - 6:
-6 = -2(x - 6)
Раскроем скобки:
-6 = -2x + 12
Перенесём число в левую часть:
-18 = -2x
x = -18 / -2
x = 9
Проверка ОДЗ: x = 9, x != 6, условие выполняется.
Ответ: 9
Ответ: 9
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Читаем дерево слева направо.
Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.35 и 0.65: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.
От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.85, по нижнему 0.3.
Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.
Верхний путь: 0.35 · 0.85 = 0.2975.
Нижний путь: 0.65 · 0.3 = 0.195.
Складываем: 0.2975 + 0.195 = 0.4925.
Ответ: 0,4925
Ответ: 0,4925
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a > 0, c < 0
Б) a < 0, c > 0
В) a > 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 231.
Ответ: 231
12
Расчёты по формулам
1 балл
Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м3 – плотность воды, g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,4 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Решение
Подставим V = 0,4 в формулу F = ρgV.
F = 1000·9,8·0,4 = 3 920.
Ответ: 3 920.
Ответ: 3 920
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 1)(x - 10) > 0
1
2
3
4
Решение
Нули выражения: x = -1 и x = 10. На числовой прямой отмечаем точки -1 и 10 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 1)(x - 10) > 0 получаем решение (-∞;-1) ∪ (10;+∞). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 15 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 15, d = 2, n = 11.
Сначала найдём последний ряд: a11 = 15 + (11 - 1)·2 = 35.
Сумма первых 11 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 11·(15 + 35)/2 = 275.
Ответ: 275.
Ответ: 275
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AB = 16, BC = 25, sin ∠ABC = 3/10. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение
Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:
S = \(\frac{1}{2}\) · AB · BC · sin∠ABC.
S = \(\frac{1}{2}\) · 16 · 25 · \(\frac{3}{10}\) = 1200/20 = 60.
Ответ: 60.
Ответ: 60
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 54°. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение
Трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная.
В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны.
Поэтому ∠B = 180° - ∠A? Нет, для оснований AD и BC углы A и D при одном основании, B и C — при другом. А в равнобедренной трапеции ∠A = ∠D и ∠B = ∠C, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.
Следовательно, ∠B = 180° - 54° = 126°.
Ответ: 126.
Ответ: 126
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Периметр ромба равен 36, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.
Решение
Сторона ромба равна 36 / 4 = 9.
Площадь ромба равна a²·sin α.
S = 9² · sin 30° = 9² · \(\frac{1}{2}\) = 40,5.
Ответ: 40,5.
Ответ: 40,5
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 6 и 8.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.
Ответ: 10.
Ответ: 10
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно.
2) Неверно.
3) Верно.
Ответ: 3.
Ответ: 3
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \(\frac{-13}{(x-4)^2-6}\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: числитель \(-13<0\), дробь \(\ge0\) только при отрицательном знаменателе.
Шаг 1. Условие: \((x-4)^2-6<0\).
Шаг 2. \((x-4)^2<6\).
Шаг 3. \(-\sqrt{6}<x-4<\sqrt{6}\).
Шаг 4. Прибавляем 4: \(4-\sqrt{6}<x<4+\sqrt{6}\).
Ответ: \((4-\sqrt{6};\; 4+\sqrt{6})\).
Правильный ответ: (4-√6;4+√6)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минут дольше, чем вторая труба?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.
Шаг 1. Пусть первая труба пропускает x л/мин, тогда вторая — (x + 16) л/мин.
Шаг 2. Время заполнения: первой — 105/x мин, второй — 105/(x+16) мин.
Шаг 3. Первая заполняет на 4 мин дольше:
105/x − 105/(x+16) = 4.
Шаг 4. Умножаем на x(x+16):
105·(x+16) − 105·x = 4·x·(x+16).
1680 = 4·x² + 64·x.
4x² + 64x − 1680 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 64² + 4·4·1680 = 4096 + 26880 = 30976, √D = 176.
x = (−64 + 176) / (2·4) = 14 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первая труба — 105/14 = \(\frac{15}{2}\) мин, вторая — 105/30 = \(\frac{7}{2}\) мин.
\(\frac{15}{2}\) − \(\frac{7}{2}\) = 4 = 4. ✓
Ответ: 14.
Правильный ответ: 14
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 6|x| + 2\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 6x + 2.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 6x + 2.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 2. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 2.
Проверка: при m = 2 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: 2.
Правильный ответ: 2
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 48 и 52. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.
Шаг 1. Второй катет: √(52² − 48²) = √400 = 20.
Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 48·\(\frac{20}{2}\) = 480.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу 52 и высоту h к ней: S = 52·h/2.
Шаг 4. Из равенства площадей: h = 48·\(\frac{20}{52}\) = 240/13.
Ответ: 240/13.
Правильный ответ: 240/13
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Биссектрисы углов C и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке L, лежащей на стороне AB. Докажите, что L — середина AB.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектрисы углов C и D перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.
Шаг 1. В параллелограмме ∠C + ∠D = 180° (смежные).
Биссектрисы делят углы пополам: ∠C/2 + ∠D/2 = 90°.
Значит в △L (треугольник при пересечении биссектрис) угол при L равен 90°.
Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла C.
Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),
значит расстояние от вершины до L равно половине смежной стороны.
Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем L — середина AB. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 8, BC = 7.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.
Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.
BE — касательная: BE² = степень точки B.
Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).
Степень точки B: BE² = BC · BD.
Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 8 (вертикальная хорда).
BE² = BC · BD = 7 · 8 = 56.
BE = √56 = 2√2.
Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = 2√2.
Ответ: 2√2.
Правильный ответ: 2√2
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.